{"id":2723,"date":"2024-10-16T15:40:39","date_gmt":"2024-10-16T13:40:39","guid":{"rendered":"https:\/\/ellistat.com\/?post_type=ressource-pedagogiqu&#038;p=2723"},"modified":"2024-10-24T16:48:48","modified_gmt":"2024-10-24T14:48:48","slug":"confidence-interval","status":"publish","type":"ressource-pedagogiqu","link":"https:\/\/ellistat.com\/en\/ressource-pedagogiqu\/intervalle-de-confiance\/","title":{"rendered":"Confidence Intervals"},"content":{"rendered":"\n<p>Un intervalle de confiance est une plage de valeurs plausible pour un param\u00e8tre statistique, estim\u00e9e \u00e0 partir d&rsquo;un \u00e9chantillon de donn\u00e9es. Il donne une id\u00e9e de la pr\u00e9cision de notre estimation du param\u00e8tre. L&rsquo;intervalle de confiance est g\u00e9n\u00e9ralement exprim\u00e9 avec un niveau de confiance associ\u00e9, qui repr\u00e9sente la probabilit\u00e9 que l&rsquo;intervalle contienne effectivement le vrai param\u00e8tre de la population.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><img decoding=\"async\" src=\"blob:https:\/\/ellistat.com\/5c5f689c-38e0-4233-8b65-b2363db5418e\"><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Moyenne\u202f:&nbsp;<\/h2>\n\n\n\n<p>L&rsquo;intervalle de confiance de la moyenne est un intervalle statistique qui donne une estimation plausible de l&rsquo;intervalle dans lequel se trouve la vraie moyenne d&rsquo;une population. Il est construit \u00e0 partir des donn\u00e9es d&rsquo;un \u00e9chantillon de cette population.&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Certainement, la cr\u00e9ation d&rsquo;un intervalle de confiance pour la moyenne est possible gr\u00e2ce au th\u00e9or\u00e8me central limite. Pour des \u00e9chantillons de taille suffisamment grande (n\u226530), quelle que soit la forme de distribution de la population, si plusieurs \u00e9chantillons de taille \u00ab\u00a0n\u00a0\u00bb sont pris au hasard, les moyennes de ces \u00e9chantillons <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\left{\\overline{X} \\right}<\/span> sont approximativement distribu\u00e9es de mani\u00e8re normale. Cela permet de construire des intervalles de confiance fiables pour estimer la vraie moyenne de la population.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>La construction de l&rsquo;intervalle de confiance de la moyenne repose sur l&rsquo;utilisation de la distribution t de Student ou de la distribution normale, en fonction de la taille de l&rsquo;\u00e9chantillon et de la connaissance que nous avons sur l&rsquo;\u00e9cart-type de la population.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Puisque ce calcul est une approximation, il convient de connaitre la pr\u00e9cision de cette approximation. En g\u00e9n\u00e9ral pour caract\u00e9riser la pr\u00e9cision de cette approximation on calcule l\u2019intervalle \u00e0 95%. Cet intervalle correspond \u00e0 :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Intervalle \u00e0 95% = Intervalle dans lequel il y a 95% de chance que la vraie valeur de la moyenne de la distribution se trouve \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur.<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Dans les statistiques 95% s\u2019appelle la confiance (1- \u03b1), elle est compl\u00e9mentaire au risque de premi\u00e8re esp\u00e8ce \u03b1=5%. Ce risque repr\u00e9sente, la chance que la valeur de la moyenne de la distribution se trouve \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur de l\u2019intervalle de confiance.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Voici comment construire un intervalle de confiance de la moyenne :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Calcul de la moyenne et de l&rsquo;\u00e9cart-type de l&rsquo;\u00e9chantillon de taille \u00ab\u202fn\u202f\u00bb : \u00c0 partir de l&rsquo;\u00e9chantillon de donn\u00e9es, calculez la moyenne et l\u2019\u00e9cart-type de l\u2019\u00e9chantillon <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\overline{X}<\/span>&nbsp;et S.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Choix du niveau de confiance (1- \u03b1) : S\u00e9lectionnez un niveau de confiance, souvent exprim\u00e9 en pourcentage, comme 95% ou 99%. Un niveau de confiance de 95% signifie que nous sommes confiants \u00e0 95% que l&rsquo;intervalle que nous construisons contiendra la vraie moyenne de la population.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>D\u00e9termination de l&rsquo;intervalle : Utilisez la formule de l&rsquo;intervalle de confiance pour la moyenne en fonction de la distribution appropri\u00e9e ( Student ou normale) :&nbsp;\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Si vous connaissez l&rsquo;\u00e9cart-type de la population \ud835\udf0e, utilisez la distribution normale :  \n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">IC = \\overline{X} \\underline{+}Z_{\\frac{a}{2}}\\ast \\frac{S}{\\sqrt{n}}<\/span> o\u00f9:\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">Z\\frac{2}{a}<\/span> : est le score z correspondant au niveau de confiance. (Bilat\u00e9ral)<\/li>\n\n\n\n<li>n\u202f: est la taille de l&rsquo;\u00e9chantillon.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n\n\n\n<li>Si vous ne connaissez pas l&rsquo;\u00e9cart-type de la population \ud835\udf0e, utilisez la distribution&nbsp;de&nbsp;Student&nbsp;:&nbsp;\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">IC = \\overline{X} \\underline{+}t_{\\frac{a}{2}n-1}\\ast \\frac{S}{\\sqrt{n}}<\/span> o\u00f9:\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">t_{\\frac{a}{2}n-1}<\/span>\u202f:&nbsp;est le score&nbsp;t&nbsp;correspondant au niveau de confiance&nbsp;et&nbsp;pour n-1&nbsp;degr\u00e9 de libert\u00e9.&nbsp;&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>n\u202f: est la taille de l&rsquo;\u00e9chantillon.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p>L&rsquo;intervalle de confiance de la moyenne donne donc une plage de valeurs \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur de laquelle nous sommes confiants \u00e0 un certain niveau de confiance (1\u2212\ud835\udefc) que se trouve la v\u00e9ritable moyenne de la population&nbsp;\u00b5. Plus le niveau de confiance est \u00e9lev\u00e9, plus l&rsquo;intervalle sera large, refl\u00e9tant un degr\u00e9 plus \u00e9lev\u00e9 de confiance dans l&rsquo;estimation.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td>&nbsp;<\/td><td>Ecart-type S&nbsp;<\/td><td>Taille de l\u2019\u00e9chantillon n&nbsp;<\/td><td>Confiance (1-\u03b1)&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td>Largeur de l\u2019intervalle de confiance de la moyenne IC.&nbsp;<\/td><td>Largeur IC augmente si l\u2019\u00e9cart-type augmente&nbsp;<\/td><td>Largeur IC diminue si la taille l\u2019\u00e9chantillon augmente&nbsp;<\/td><td>Largeur de l\u2019IC augmente quand la confiance augmente&nbsp;<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Exemple\u202f: On souhaite savoir calculer l\u2019intervalle de confiance de la consommation moyenne du sucre par famille \u00e0 95% de confiance. Un \u00e9chantillon de 18 familles a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9lev\u00e9. Ci-dessous le tableau des r\u00e9sultats\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td>5&nbsp;<\/td><td>13&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><td>5&nbsp;<\/td><td>2&nbsp;<\/td><td>3&nbsp;<\/td><td>2&nbsp;<\/td><td>1&nbsp;<\/td><td>6&nbsp;<\/td><td>14&nbsp;<\/td><td>6&nbsp;<\/td><td>8&nbsp;<\/td><td>2&nbsp;<\/td><td>13&nbsp;<\/td><td>9&nbsp;<\/td><td>5&nbsp;<\/td><td>12&nbsp;<\/td><td>7&nbsp;<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Solution\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Calculons la moyenne, l\u2019\u00e9cart-type et le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\overline{X} = \\frac{5+13+11+5+2+3+2+1+6+14+6+8+2+13+9+5+12+7}{18} = 6.88<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">S = \\sqrt{\\frac{\\sum_{1}^{N}(xi-\\overline{x})^{2}}{17}} = 4.25<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">n-1 =17<\/p>\n\n\n\n<p>Depuis la table de la loi de Student, ou avec le logiciel <a href=\"https:\/\/ellistat.com\/solutions-data-analysis\/\">Ellistat Data Analysis<\/a>, on trouve la valeur t=2.110<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" alt=\"Une image contenant texte, diagramme, capture d\u2019\u00e9cran, Trac\u00e9\n\nDescription g\u00e9n\u00e9r\u00e9e automatiquement\" src=\"blob:https:\/\/ellistat.com\/5d36ab4a-a8d2-4d67-a3ed-af71b2dca181\"><\/p>\n\n\n\n<p>On peut donc d\u00e9duire l\u2019intervalle de confiance suivant\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\overline{X}-t_{\\frac{a}{2};n-1}\\ast \\frac{S}{\\sqrt{n}}\\le \\mu\\le \\overline{X}+t_{\\frac{a}{2}n-1}\\ast \\frac{S}{}\\sqrt{n}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">6.88-2.110\\ast \\frac{4.25}{\\sqrt{18}}\\le \\mu\\le 6.88+2.110\\ast \\frac{4.25}{\\sqrt{18}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">4.773\\le \\mu\\le 9.005<\/span><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Variance \/ Ecart-type:<\/h2>\n\n\n\n<p>Pour construire un intervalle de confiance pour la variance d&rsquo;une population, on utilise la distribution du chi-2 (<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x^{2}<\/span>). En effet on sait que&nbsp;la variance est estim\u00e9e en utilisant formule suivante\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">&lt;\/p&gt;\n\n\n\n&lt;p&gt;La formule de chi-2 ([latex]x^{2}<\/span> de la variance s\u2019\u00e9crit comme suit\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">X^{2} = \\frac{(n-1)S^{2}}{\\sigma^{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>La courbe de fonction de densit\u00e9 un de chi-2 (<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x^{2}<\/span>) ressemble \u00e0 une loi normale&nbsp;mais elle n\u2019est pas sym\u00e9trique. Et surtout sa forme d\u00e9pend de nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9. Le graphique&nbsp;ci-dessous illustre le sch\u00e9ma de la fonction de densit\u00e9 de&nbsp;chi-2 (<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x^{2}<\/span>)pour un degr\u00e9 de libert\u00e9&nbsp;de n=4\u202f.&nbsp;<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"838\" src=\"https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-9-1024x838.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2728\" srcset=\"https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-9-1024x838.png 1024w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-9-300x246.png 300w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-9-768x628.png 768w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-9-1536x1257.png 1536w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-9-15x12.png 15w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-9.png 1591w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p>La formule de <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">x^{2}<\/span> peut \u00eatre exploit\u00e9e pour d\u00e9duire l\u2019intervalle de confiance de la variance&nbsp;\ud835\udf0e\u00b2,&nbsp;&nbsp;pour une taille de pr\u00e9l\u00e8vement&nbsp;n&nbsp;et une confiance 1-\u03b1.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}_{n-1;\\frac{a}{2}}}\\le \\sigma^{2}\\le \\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Processus de calcul de l\u2019intervalle de confiance de la variance\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Calculez la variance et les degr\u00e9s de libert\u00e9 : \u00c0 partir de l&rsquo;\u00e9chantillon de donn\u00e9es, calculez la variance S\u00b2, et les degr\u00e9s de libert\u00e9 (n-1).&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Trouvez les valeurs critiques du chi carr\u00e9 : Recherchez les valeurs critiques du chi carr\u00e9 <span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">X^{2}n-1;\\frac{a}{2}\\text{et}X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}<\/span> pour le niveau de confiance souhait\u00e9 et les degr\u00e9s de libert\u00e9. Vous pouvez trouver ces valeurs dans des tables de distribution&nbsp;du&nbsp;\ud835\udf122&nbsp;ou \u00e0 l&rsquo;aide de&nbsp;Ellistat.&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li>Utiliser les formules suivantes pour d\u00e9terminer l\u2019intervalle de confiance de la variance\u202f:&nbsp;<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}_{n-1;\\frac{a}{2}}}\\le \\sigma^{2}\\le \\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>NB\u202f: l\u2019intervalle de confiance de l\u2019\u00e9cart-type peut \u00eatre ainsi d\u00e9duit, en mettant la racine de chaque c\u00f4t\u00e9.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\sqrt{\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;\\frac{a}{2}}}\\le \\sigma\\le \\sqrt{\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Exemple\u202f: un \u00e9chantillon de 10 cylindres a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9lev\u00e9 de la production. On souhaite avoir une id\u00e9e sur la variabilit\u00e9 du process. D\u00e9terminer l\u2019intervalle de confiance de la variance \ud835\udf0e2 pour une confiance de 95%\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td>10&nbsp;<\/td><td>10&nbsp;<\/td><td>12&nbsp;<\/td><td>10&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><\/tr><tr><td>10&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><td>10&nbsp;<\/td><td>11&nbsp;<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Solution\u202f:&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Calculons l\u2019\u00e9cart-type S et le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">S^{2} = \\frac{\\sum_{1}^{N}(xi-\\overline{x})^{2}}{9} = 0.489<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">n-1=9&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Pour une confiance (1-\u03b1) de 95%, on peut d\u00e9duire les valeurs des quantiles utilis\u00e9s dans le calcul de l\u2019intervalle de confiance de la variance\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{\\alpha}{2}=0.025\\text{ et } 1-\\frac{\\alpha}{2} = 0.975<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>Depuis la table de la loi de \ud835\udf122, ou avec le logiciel Ellistat on trouve la valeur de&nbsp;&nbsp;<span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\"> X^{2}&lt;em&gt;{9;\\frac{a}{2}}=19.02\\text{ et }X^{2}&lt;\/em&gt;{9;1-\\frac{a}{2}}=2.70<\/span><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"627\" src=\"https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-1024x627.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2726\" srcset=\"https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-1024x627.png 1024w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-300x184.png 300w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-768x470.png 768w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-18x12.png 18w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8.png 1385w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"627\" src=\"https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-1024x627.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2727\" srcset=\"https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-1024x627.png 1024w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-300x184.png 300w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-768x470.png 768w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8-18x12.png 18w, https:\/\/ellistat.com\/wp-content\/uploads\/image-8.png 1385w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p>On peut donc calculer l\u2019intervalle de confiance de la variance \u00e0 une confiance de 95%.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}_{n-1;\\frac{a}{2}}}\\le \\sigma^{2}\\le \\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\\frac{a}{2}}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">\\frac{9&lt;em&gt;0.489}{19.02}\\le \\sigma^{2}\\le \\frac{9&lt;\/em&gt;0.489}{2.70}<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">0.231\\le \\sigma^{2}\\le 1.629<\/span><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><span class=\"wp-katex-eq\" data-display=\"false\">0.480\\le \\sigma\\le 1.276<\/span><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Proportion<\/h2>\n\n\n\n<p>L&rsquo;intervalle de confiance d&rsquo;une proportion est une plage de valeurs dans laquelle on estime qu&rsquo;une proportion d&rsquo;une population donn\u00e9e est susceptible de se situer, avec une certaine probabilit\u00e9. En d&rsquo;autres termes, c&rsquo;est un intervalle de valeurs construit \u00e0 partir des donn\u00e9es d&rsquo;un \u00e9chantillon, \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur duquel on estime que se trouve la v\u00e9ritable proportion de la population, avec un niveau de confiance donn\u00e9.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Il existe diff\u00e9rentes m\u00e9thodes pour calculer l&rsquo;intervalle de confiance d&rsquo;une proportion en statistiques, mais les deux m\u00e9thodes les plus couramment utilis\u00e9es sont :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>M\u00e9thode exacte (pour les petites tailles d&rsquo;\u00e9chantillon).\u00a0<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>M\u00e9thode Approximative (avec la loi normale)\u00a0<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><strong>M\u00e9thode exacte<\/strong>\u202f: (calcul par la loi binomiale)&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>La m\u00e9thode exacte pour calculer l&rsquo;intervalle de confiance d&rsquo;une proportion repose sur la distribution binomiale et fournit une solution pr\u00e9cise sans les approximations faites par les m\u00e9thodes asymptotiques. C&rsquo;est particuli\u00e8rement utile pour les petites tailles d&rsquo;\u00e9chantillon ou lorsque la proportion observ\u00e9e (<\/p>\n\n\n\n<p>\ud835\udc5d\u02c6p^<\/p>\n\n\n\n<p>) est proche de 0 ou 1.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Voici les \u00e9tapes pour calculer l&rsquo;intervalle de confiance exact de la proportion :&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Etape 1 :<\/strong> Calculer la proportion observ\u00e9e sur l\u2019\u00e9chantillon n avec k succ\u00e8s.\u202f:\u00a0\ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc58\ud835\udc5bp^=kn\u00a0D\u00e9terminer les bornes de l&rsquo;intervalle de confiance\u202f.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Etape 2<\/strong>: Calculez les quantiles de la distribution binomiale. Ces quantiles d\u00e9limitent l&rsquo;intervalle de confiance. Pour un niveau de confiance de 1\u2212\u03b1, vous devez trouver le quantile Q1 au percentile \ud835\udefc2\ud835\udefc2puis le quantile Q2 au percentile\u00a01\u2212\ud835\udefc21\u2212\ud835\udefc2\u00a0\u00e0 partir de la table de la loi Binomiale.\u00a0Ces quantiles peuvent \u00eatre trouv\u00e9s \u00e0 l&rsquo;aide de tables de la distribution binomiale ou dans le logiciel Ellistat.\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Etape 3: <\/strong>Calculer l&rsquo;intervalle de confiance :\u00a0 L\u2019intervalle de confiance est calcul\u00e9 avec la formule suivante\u202f:\u00a0Puis calculer l\u2019intervalle de de confiance\u202f[\ud835\udc441\ud835\udc5b;\ud835\udc442\ud835\udc5b][Q1n;Q2n]\u00a0\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p>Exemple\u202f: supposons qu\u2019apr\u00e8s pr\u00e9l\u00e8vent d\u2019un \u00e9chantillon de taille n=20, vous avez observ\u00e9 k=15 conformes. Calculer l\u2019intervalle de confiance exacte de la proportion des pi\u00e8ces conformes pour une confiance de 95)\u202f?&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Solution\u202f:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>La proportion des pi\u00e8ces conformes observ\u00e9e\u202f: \ud835\udc5d\u02c6=1520=0.75p^=1520=0.75<\/p>\n\n\n\n<p>D\u00e9termination de Q1 et Q2\u202f, pour une proportion p=0.75 et une taille de pr\u00e9l\u00e8vement de 20.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>En utilisant le logiciel Ellistat on trouve\u202f: Q1=11 (11 donne un \ud835\udefc\/2 le\u00a0plus proche\u00a0\u00e0 0.025)\u00a0et Q2=18\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p><img decoding=\"async\" alt=\"Une image contenant texte, capture d\u2019\u00e9cran, diagramme, ligne\n\nDescription g\u00e9n\u00e9r\u00e9e automatiquement\" src=\"blob:https:\/\/ellistat.com\/452a7f55-c11c-4fc1-a123-de2b51f2efa0\"><\/p>\n\n\n\n<p><img decoding=\"async\" alt=\"Une image contenant texte, diagramme, ligne, Trac\u00e9\n\nDescription g\u00e9n\u00e9r\u00e9e automatiquement\" src=\"blob:https:\/\/ellistat.com\/ffe282d7-519f-4138-9eff-8e17c09328ca\"><\/p>\n\n\n\n<p>L\u2019intervalle de confiance de la proportion pour une confiance de 95% est\u202f:\u00a0 [\ud835\udc441\ud835\udc5b;\ud835\udc442\ud835\udc5b]=\u00a0[1120;1820]Q1n;Q2n=\u00a0[1120;1820]<\/p>\n\n\n\n<p>Il est important de noter que cette m\u00e9thode donne une solution pr\u00e9cise, mais elle peut \u00eatre plus intensive en termes de calcul, en particulier pour les grandes tailles d&rsquo;\u00e9chantillon, n\u00e9cessitant souvent l&rsquo;utilisation d&rsquo;un logiciel statistique pour effectuer les calculs.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>M\u00e9thode Approximative (avec la loi normale)<\/strong>:&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Pour construire un intervalle de confiance pour une proportion dans une population, on utilise la distribution normale si les conditions du th\u00e9or\u00e8me central limite sont satisfaites. En effet si un \u00e9chantillon de taille n est pr\u00e9lev\u00e9 d\u2019une population qui suit la loi Binomiale de param\u00e8tre p. La proportion calcul\u00e9e \u00e0 partir de cet \u00e9chantillon est p^, sachant\u202fque\u202f:\u00a0\ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc65\ud835\udc5bp^=xn<\/p>\n\n\n\n<p>Avec\u202f:&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>x\u202f: le nombre de succ\u00e8s.\u00a0<\/li>\n\n\n\n<li>n\u202f: la taille de l\u2019\u00e9chantillon.\u00a0<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>La moyenne et l\u2019\u00e9cart-type de la population sont les suivants\u202f:\u00a0 \ud835\udf07\ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc5d<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udf0e\ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc5d&nbsp;(1\u2212\ud835\udc5d)\ud835\udc5b\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u221a\ud835\udf0ep^=p&nbsp;(1\u2212p)n<\/p>\n\n\n\n<p>Le th\u00e9or\u00e8me central limit\u00e9 peut \u00eatre appliqu\u00e9 sur la proportion des \u00e9chantillons si \ud835\udc5b\u2217\ud835\udc5d\u22655n\u2217p\u22655 et\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\ud835\udc5b\u2217(1\u2212\ud835\udc5d)\u22655n\u2217(1\u2212p)\u22655. En effet, c&rsquo;est particuli\u00e8rement utile pour les\u00a0grandes\u00a0tailles d&rsquo;\u00e9chantillon ou lorsque\u00a0les proportions observ\u00e9es\u00a0ne sont pas proches de 1 et 0.\u00a0<\/p>\n\n\n\n<p>La formule de Z-score peut \u00eatre donc appliqu\u00e9e\u202f:\u00a0 \ud835\udf0e\ud835\udc5d\u02c6=\ud835\udc5d\u00a0(1\u2212\ud835\udc5d)\ud835\udc5b\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u203e\u221a\ud835\udf0ep^=p\u00a0(1\u2212p)n<\/p>\n\n\n\n<p>Si0\u2264\ud835\udf07\ud835\udc5d\u02c6\u00b12\ud835\udf0e\ud835\udc5d\u02c6\u226410\u2264\ud835\udf07p^\u00b12\ud835\udf0ep^\u22641 , on peut consid\u00e9rer que\u00a0\u00a0\ud835\udc5d\u02c6p^\u00a0suit approximativement une loi normale.\u00a0\u00a0<\/p>\n","protected":false},"featured_media":0,"template":"","meta":{"_acf_changed":false},"menu-ressource-pedagogique":[27],"class_list":["post-2723","ressource-pedagogiqu","type-ressource-pedagogiqu","status-publish","hentry","menu-ressource-pedagogique-3-statistiques-descriptives"],"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - 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