Ecart type intra-série

Lorsque l’on mesure la variabilité d’un procédé à partir d’une série d’échantillons de plusieurs pièces, il est possible de distinguer deux types de variabilité :

1 Ecart type

Si l’on mélange toutes les pièces et que l’on calcule l’écart-type de l’échantillon global ainsi constitué, on calculera l’écart-type global de toutes les pièces. Cet écart-type prend en compte l’ensemble de la variabilité de l’échantillon, y compris la variabilité entre les échantillons.

Or, il est parfois nécessaire de séparer la variabilité entre, d’une part la variabilité intra-échantillon et la variabilité entre les échantillons.

C’est par exemple le cas lorsque l’on souhaite calculer une capabilité court terme à partir de plusieurs échantillonnages. La variabilité intra-échantillon représente alors la variabilité intrinsèque de la machine de production, alors que la variabilité globale tient également compte des déréglages de la machine sur un temps plus long.

C’est également le cas lorsque l’on souhaite calculer la dispersion d’un instrument de mesure lors d’une étude R&R. La variabilité intra-échantillon représente alors la répétabilité (ou reproductibilité selon l’échantillonnage) du processus de mesure, alors que la variabilité globale tient également compte de la variabilité de pièces.

Pour calculer l’écart-type intra-série, il existe deux méthodes de calcul :

Méthode Range : Très facile à utiliser, les calculs peuvent être faits à la main, elle nécessite cependant de n’avoir que des échantillons de même taille.

Méthode Variance : Les calculs sont plus compliqués, mais très facilement réalisables par un ordinateur. Cette méthode est utilisable lorsque les échantillons ne sont pas de même taille.

Méthode Range :

Pour calculer l’écart-type intra-échantillon à partir de la méthode Range, il faut calculer disposer d’une série d’échantillons de même taille comme dans l’exemple suivant

Ecart type 2

Par chaque échantillon, on calcule l’étendue R.

On calcule ensuite la moyenne des étendues, dans l’exemple précédant :

r

L’écart type intra-échantillon est simplement calculé par la formule

ecart type intra

d2 est un coefficient qui se déduit du tableau suivant. Il est fonction du nombre de sous-groupes utilisés pour le calcul, ainsi que du nombre de mesures dans chaque sous-groupe.

Nb de mesures dans chaque sous groupe Nombre de sous-groupes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >15
2 1.414 1.279 1.231 1.206 1.191 1.181 1.173 1.168 1.164 1.160 1.157 1.155 1.153 1.151 1.150 1.128
3 1.912 1.805 1.769 1.750 1.739 1.731 1.726 1.721 1.718 1.716 1.714 1.712 1.710 1.709 1.708 1.693
4 2.239 2.151 2.120 2.105 2.096 2.099 2.085 2.082 2.080 2.077 2.076 2.074 2.073 2.072 2.071 2.059
5 2.481 2.400 2.379 2.366 2.358 2.353 2.349 2.346 2.344 2.342 2.340 2.339 2.338 2.337 2.337 2.326
6 2.673 2.604 2.581 2.570 2.563 2.558 2.555 2.552 2.550 2.549 2.547 2.546 2.542 2.545 2.544 2.534

Dans l’exemple précédent, nous disposions de 5 sous-groupes de 3 pièces, on en déduit donc

d22

Par suite :

sigma intra2

Méthode à partir de la variance :

Pour calculer l’écart-type intra-échantillon à partir de la méthode Range, il n’est pas nécessaire disposer d’une série d’échantillons de même taille, il faut simplement une série d’échantillon de plus de 2 pièces chacun, comme dans l’exemple suivant :

variance

Pour chaque échantillon, on calcule :

variance 2

  • i: Nombre de pièces constituant l’échantillon
  • vi: Nombre de degré de liberté de l’échantillon = n-1
  • Vi: Variance de l’échantillon :

Le calcul de la variance intra-échantillon se fait par :

variance 3

On en déduit alors le calcul de l’écart type intra-échantillon :

variance 4

 

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