Intervalo de confianza

Un intervalo de confianza es un rango plausible de valores para un parámetro estadístico, estimado a partir de una muestra de datos. Da una idea de la precisión de nuestra estimación del parámetro. El intervalo de confianza suele expresarse con un nivel de confianza asociado, que representa la probabilidad de que el intervalo contenga realmente el verdadero parámetro poblacional. 

Media : 

El intervalo de confianza de la media es un intervalo estadístico que ofrece una estimación plausible del intervalo en el que se encuentra la media real de una población. Se construye utilizando datos de una muestra de esta población.  

Ciertamente, la creación de un intervalo de confianza para la media es posible gracias al teorema del límite central. Para muestras suficientemente grandes (n≥30), sea cual sea la forma de la distribución de la población, si se toman aleatoriamente varias muestras de tamaño "n", las medias de estas muestras \left{overline{X} \right} tienen una distribución aproximadamente normal. Esto permite construir intervalos de confianza fiables para estimar la media real de la población. 

La construcción del intervalo de confianza para la media se basa en el uso de la distribución t de Student o la distribución normal, dependiendo del tamaño de la muestra y de nuestro conocimiento de la desviación típica de la población. 

Dado que este cálculo es una aproximación, necesitamos conocer la precisión de esta aproximación. En general, para caracterizar la precisión de esta aproximación, calculamos el intervalo a 95%. Este intervalo corresponde a : 

Intervalo a 95% = Intervalo en el que existe una probabilidad de 95% de que el verdadero valor de la media de la distribución se encuentre dentro de él. 

En estadística 95% se denomina confianza (1- α), es complementario del riesgo de primer tipo α=5%. Este riesgo representa la probabilidad de que el valor de la media de la distribución se encuentre fuera del intervalo de confianza. 

A continuación se explica cómo construir un intervalo de confianza para la media: 

1. Calcula la media y la desviación típica de la muestra de tamaño "n": A partir de los datos de la muestra, calcula la media y la desviación típica de la muestra. \overline{X} y S. 
2. Elección del nivel de confianza (1- α): Seleccione un nivel de confianza, a menudo expresado como porcentaje, como 95% o 99%. Un nivel de confianza de 95% significa que estamos 95% seguros de que el intervalo que construimos contendrá la verdadera media poblacional. 
3. Determinación del intervalo: Utilice la fórmula del intervalo de confianza para la media según la distribución apropiada (Student o normal): 
   • Si conoce la desviación típica de la población 𝜎, utilice la distribución normal:
     • IC = \overline{X} \underline{+}Z_{\frac{a}{2}}\ast \frac{S}{\sqrt{n}} donde:
       • Z\frac{2}{a} es la puntuación z correspondiente al nivel de confianza. (Bilateral)
       • n: es el tamaño de la muestra. 
   • Si no conoce la desviación típica de la población 𝜎, utilice la distribución de Student: 
     • IC = \overline{X} \underline{+}t_{\frac{a}{2}n-1}\ast \frac{S}{\sqrt{n}} donde:
       • t_{rac{a}{2}n-1}es la puntuación t correspondiente al nivel de confianza y para n-1 grados de libertad.  
       • n: es el tamaño de la muestra. 

Por lo tanto, el intervalo de confianza de la media da un rango de valores dentro del cual estamos seguros, con un cierto nivel de confianza (1-𝛼), de que se encuentra la verdadera media de la población µ. Cuanto mayor sea el nivel de confianza, más amplio será el intervalo, lo que refleja un mayor grado de confianza en la estimación. 

Ejemplo: Queremos saber cómo calcular el intervalo de confianza para el consumo medio de azúcar por familia con una confianza de 95%. Se ha tomado una muestra de 18 familias. A continuación se muestra la tabla de resultados: 

Solución: 

Calculemos la media, la desviación típica y el número de grados de libertad 

\overline{X} = \frac{5+13+11+5+2+3+2+1+6+14+6+8+2+13+9+5+12+7}{18} = 6,88

S = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{N}(xi-\overline{x})^{2}{17}} = 4,25

n-1 =17

A partir de la tabla de la ley de Student, o con el programa informático Análisis de datos Ellistatencontramos el valor t=2.110

Por lo tanto, podemos obtener el siguiente intervalo de confianza: 

\...t_overline{X}+t_{\frac{a}{2};n-1}ast \frac{S}{\sqrt{n}}le \mu\le \overline{X}+t_{\frac{a}{2}n-1}ast \frac{S}{\sqrt{n}}

6.88-2.110\ast \frac{4.25}{\sqrt{18}}

4.773 \mu\le 9.005

Varianza / Desviación típica:

Para construir un intervalo de confianza para la varianza de una población, utilizamos la distribución chi-2 (x^{2}). Sabemos que la varianza se estima mediante la siguiente fórmula: 

</p><p>La fórmula chi-2 ([latex]x^{2} de la varianza se escribe de la siguiente manera : 

X^{2} = \frac{(n-1)S^{2}}{sigma^{2}}

La curva de la función de densidad chi-2 (x^{2}) se parece a una distribución normal, pero no es simétrica. Sobre todo, su forma depende del número de grados de libertad. El gráfico siguiente muestra el diagrama de la función de densidad chi-2 (x^{2})para un grado de libertad de n=4 . 

En x^{2} puede utilizarse para deducir el intervalo de confianza de la varianza 𝜎², para un tamaño de muestra n y una confianza 1-α. 

\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}_{n-1;\frac{a}{2}}}\le \sigma^{2}\le \frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\frac{a}{2}}

Proceso de cálculo del intervalo de confianza de la varianza : 

1. Calcular la varianza y los grados de libertad: A partir de los datos de la muestra, calcular la varianza S², y los grados de libertad (n-1). 
2. Encuentre los valores críticos de chi-cuadrado: Encuentre los valores críticos de chi-cuadrado X^{2}n-1;\frac{a}{2}\text{et}X^{2}n-1;1-\frac{a}{2} para el nivel de confianza y los grados de libertad deseados. Puede encontrar estos valores en las tablas de distribución 𝜒2 o con la ayuda de Ellistat. 
3. Utiliza las siguientes fórmulas para determinar el intervalo de confianza de la varianza: 

\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}_{n-1;\frac{a}{2}}}\le \sigma^{2}\le \frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\frac{a}{2}}

Nota: el intervalo de confianza de la desviación típica puede deducirse de este modo, poniendo la raíz a cada lado. 

\sqrt{\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;\frac{a}{2}}}\le \sigma\le \sqrt{\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\frac{a}{2}}}

Ejemplo: se ha tomado una muestra de 10 cilindros de la producción. Queremos hacernos una idea de la variabilidad del proceso. Determine el intervalo de confianza de la varianza 𝜎2 para una confianza de 95% : 

Solución:  

Calculemos la desviación típica S y el número de grados de libertad : 

S^{2} = \frac{\sum_{1}^{N}(xi-\overline{x})^{2}{9} = 0,489

n-1=9 

Para un nivel de confianza (1-α) de 95%, podemos deducir los valores de los cuantiles utilizados para calcular el intervalo de confianza de la varianza: 

\frac{\alpha}{2}=0,025\text{ y } 1-\frac{\alpha}{2} = 0,975

A partir de la tabla de la ley 𝜒2, o con el software Ellistat, se puede hallar el valor de   X^{2}{9;\frac{a}{2}}=19.02\text{ et }X^{2}{9;1-\frac{a}{2}}=2.70

Por lo tanto, podemos calcular el intervalo de confianza de la varianza con un nivel de confianza de 95%. 

\frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}_{n-1;\frac{a}{2}}}\le \sigma^{2}\le \frac{(n-1)S^{2}}{X^{2}n-1;1-\frac{a}{2}}

\frac{90.489}{19.02}\le \sigma^{2}\le \frac{90.489}{2.70}

0,231 \sigma^{2}\le 1,629

0,480 \sigma\le 1,276

Proporción

El intervalo de confianza de una proporción es un intervalo de valores dentro del cual se estima que se encuentra una proporción de una población dada, con una probabilidad determinada. En otras palabras, es un intervalo de valores construido a partir de los datos de una muestra, dentro del cual se estima que se encuentra la verdadera proporción de la población, con un determinado nivel de confianza. 

Existen varios métodos para calcular el intervalo de confianza de una proporción en estadística, pero los dos más utilizados son : 

• Método exacto (para muestras de pequeño tamaño). 

• Método aproximado (con distribución normal) 

Método exacto(calculado mediante la distribución binomial) 

El método exacto para calcular el intervalo de confianza de una proporción se basa en la distribución binomial y proporciona una solución exacta sin las aproximaciones realizadas por los métodos asintóticos. Esto es especialmente útil para muestras de pequeño tamaño o cuando la proporción observada (

𝑝ˆp^

) se acerca a 0 o 1. 

Estos son los pasos para calcular el intervalo de confianza exacto para la proporción: 

Primer paso: Calcule la proporción observada en la muestra n con k aciertos.𝑝ˆ=𝑘𝑛p^=kn Determine los límites del intervalo de confianza .

Fase 2Calcular los cuantiles de la distribución binomial. Estos cuantiles delimitan el intervalo de confianza. Para un nivel de confianza de 1-α, debe encontrar el cuantil Q1 en el percentil 𝛼2𝛼2 y, a continuación, el cuantil Q2 en el percentil 1-𝛼21-𝛼2 de la tabla de la distribución binomial. Estos cuantiles pueden encontrarse utilizando tablas de la distribución binomial o en el software Ellistat. 

Tercer paso: Calcule el intervalo de confianza: El intervalo de confianza se calcula mediante la siguiente fórmula: A continuación, calcule el intervalo de confianza [𝑄1𝑛;𝑄2𝑛][Q1n;Q2n].  

Ejemplo: suponga que, tras tomar una muestra de tamaño n=20, ha observado k=15 piezas conformes. Calcule el intervalo de confianza exacto de la proporción de piezas conformes para un nivel de confianza del 95)? 

Solución: 

Proporción de piezas conformes observadas: 𝑝ˆ=1520=0,75p^=1520=0,75

Determinación de Q1 y Q2 , para una proporción p=0,75 y un tamaño de muestra de 20. 

Utilizando el software Ellistat encontramos: Q1=11 (11 da un 𝛼/2 más cercano a 0.025) y Q2=18 

El intervalo de confianza de la proporción para una confianza de 95% es: [𝑄1𝑛;𝑄2𝑛]= [1120;1820]Q1n;Q2n= [1120;1820]

Es importante señalar que este método ofrece una solución precisa, pero puede ser más intensivo desde el punto de vista computacional, sobre todo para muestras de gran tamaño, y a menudo requiere el uso de software estadístico para realizar los cálculos. 

Método aproximado (con distribución normal):  

Para construir un intervalo de confianza para una proporción en una población, utilizamos la distribución normal si se cumplen las condiciones del teorema central del límite. Si se toma una muestra de tamaño n de una población que sigue la distribución Binomial con parámetro p, la proporción calculada a partir de esta muestra es p^, dado que: 𝑝ˆ=𝑥𝑛p^=xn

Con :  

• x: el número de aciertos. 
• n: tamaño de la muestra. 

La media poblacional y la desviación típica son 𝜇𝑝ˆ=𝑝

𝜎𝑝ˆ=𝑝 (1-𝑝)𝑛‾‾‾‾‾‾‾‾‾√𝜎p^=p (1-p)n

El teorema central acotado puede aplicarse a la proporción de las muestras si 𝑛∗𝑝≥5n∗p≥5 y 𝑛∗(1-𝑝)≥5n∗(1-p)≥5. De hecho, esto es particularmente útil para muestras de gran tamaño o cuando las proporciones observadas no son cercanas a 1 y 0. 

Por tanto, puede aplicarse la fórmula de la puntuación Z: 𝜎𝑝ˆ=𝑝 (1-𝑝)𝑛‾‾‾‾‾‾‾‾‾√𝜎p^=p (1-p)n

Si0≤𝜇𝑝ˆ±2𝜎𝑝ˆ≤10≤𝜇p^±2𝜎p^≤1 , podemos considerar que 𝑝ˆp^ sigue aproximadamente una distribución normal.