Ley normal

En estadística, la ley normal (o distribución normal) es una de las distribuciones de probabilidad más importantes y utilizadas. También se conoce como ley natural o distribución de Gauss, en honor del matemático Carl Friedrich Gauss que estudió en detalle sus propiedades. 

La distribución normal se caracteriza por su forma de campana simétrica, lo que significa que la mayoría de los valores se agrupan en torno a la media y que los valores se alejan de la media a medida que aumentan o disminuyen. La distribución normal viene definida por dos parámetros:

• Media (µ): Es el centro de la campana y representa el valor en torno al cual se agrupan los demás valores.

• Desviación típica (σ): Es una medida de la dispersión de los valores en relación con la media. Cuanto mayor sea la desviación típica, mayor será la dispersión de los valores.

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal viene dada por la siguiente fórmula matemática para una variable aleatoria : 

f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}

Esta distribución tiene varias propiedades importantes: 

• Simetría: La distribución es simétrica respecto a su media. 

• Forma de campana: la mayoría de los valores están cerca de la media, y la probabilidad de valores extremos disminuye rápidamente a medida que uno se aleja de la media. 

• 68-95-99,7 Regla: Aproximadamente 68% de los valores están dentro de una desviación típica de la media, 95% dentro de dos desviaciones típicas y 99,7% dentro de tres desviaciones típicas. 

• La distribución normal se utiliza en muchos ámbitos de la estadística, como la inferencia estadística, la modelización y la comprobación de hipótesis, debido a sus conocidas propiedades matemáticas y a su frecuencia de aparición en muchos fenómenos naturales y experimentales.

Distribución normal reducida

La distribución "normal reducida centrada" se refiere a una distribución normal estándar, es decir, una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1. Es una de las distribuciones más utilizadas en estadística. 

Cualquier variable normal puede transformarse en una normal centrada reducida restando la media de la variable y dividiéndola por la desviación típica. Esta normalización es útil para comparar variables que inicialmente pueden tener unidades o escalas diferentes. También simplifica los cálculos en muchos contextos estadísticos. 

Para una variable aleatoria X que sigue una distribución normal con media μ y desviación típica σ. La normalización de X para obtener la normal centrada reducida (a menudo denominada Z) se realiza mediante la fórmula : 

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

El valor de Z representa el número de desviaciones estándar de la media. Puede ser positivo o negativo. 

• Un valor de Z=2 significa que este punto está por encima de la media µ y el desplazamiento respecto a la media es de 2 desviaciones típicas σ. 

• Un valor de Z=-3,5 significa que este punto está por debajo de la media µ y el desfase con respecto a la media es de 3,5 desviaciones típicas σ. 

Con esta transformación, podemos utilizar la tabla de la distribución normal reducida centrada. Esta tabla se utiliza para determinar los valores de la función de distribución de la distribución normal F(x) en función del valor de Z.  

F(Z)=\int_{-\infty }^{Z}\frac{1}{\sqrt{2\Pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}

Con : 

• F(Z) : La función de distribución de la distribución normal estándar (o distribución normal centrada reducida). Es una función matemática que da la probabilidad de que una variable aleatoria que sigue una distribución normal estándar sea menor o igual que un valor dado. 

𝐹(𝑍)=𝑃(𝑧 ≤ 𝑍)

El valor de F(Z) está siempre entre 0 y 1, porque es una probabilidad. 

Los valores de la función de distribución F(Z) para la distribución normal estándar se utilizan en muchas áreas de la estadística para realizar cálculos de probabilidad, incluidas las pruebas de hipótesis, los intervalos de confianza, la estimación de la tasa de no conformidad, la estimación de la fiabilidad del proceso y otros análisis estadísticos. 

La función de distribución F(Z) no puede expresarse en términos de funciones elementales (como polinomios, exponenciales o trigonométricas) y a menudo requiere el uso de tablas estadísticas o programas informáticos para calcular los valores de probabilidad asociados a valores específicos de Z. En el caso de la distribución normal, se utilizará la tabla de distribución normal centrada reducida, también conocida como tabla Z, para calcular F(Z) : 

Ejemplo: 

Halla los valores de las siguientes probabilidades utilizando la distribución normal: 

𝑃(𝑧≤0), 𝑃(𝑧≤-2), 𝑃(𝑧≥1.55), 𝑃(-2≤ 𝑧 ≤1.55) 

Solución: 

Cálculo del porcentaje fuera de tolerancia 

Como se ha comentado al establecer las características de la distribución normal, ésta queda totalmente caracterizada en cuanto se conocen su media y su desviación típica. Más concretamente : 

• Alrededor del 68,27% de las observaciones se sitúan dentro de una desviación típica de la media. 

• Alrededor del 95,45% de las observaciones se sitúan dentro de las dos desviaciones típicas de la media. 

• Alrededor del 99,73% de las observaciones se sitúan dentro de las tres desviaciones típicas de la media. 

Estos porcentajes describen cómo se distribuyen los datos en torno a la media en una distribución normal, proporcionando información valiosa sobre la dispersión de los valores en relación con la media. 

Sin embargo, para evaluar con mayor precisión el porcentaje de elementos fuera de los límites tolerados en una población, es posible calcular el número z. 

El número z se calcula del siguiente modo: 

Z = \frac{\mu-\text{{tolerancia}}{{sigma}}

Representa la medida en términos de desviaciones estándar entre el valor medio de la muestra y el límite de tolerancia. 

Una vez determinado el número z, es posible calcular el porcentaje de elementos fuera de tolerancia consultando la tabla de Gauss o la tabla de distribución normal reducida centrada. Esta tabla se utiliza para hallar la proporción de valores más allá de una cierta distancia (representada por el número z) de la media en una distribución normal, lo que ayuda a evaluar el porcentaje de elementos fuera de los límites tolerados. 

Ejemplo: 

Hallar el porcentaje total fuera de tolerancia, dado que el diámetro medio es µ=10,1mm y la desviación típica σ=0,5mm y el intervalo de tolerancia IT=[9; 11]. 

Calculemos la z_min: 

Z_{min} = \frac{\mu-\text{tolerancia}{\sigma} = \frac{10,1-9}{0,5} = 2,2

Esto da el porcentaje de piezas fuera de la tolerancia mínima en la tabla Gauss: 

% HT min = 100% - 98,61% = 1,39%

Calculemos la z_max: 

Z_{max} = \frac{mu-\text{tolerancia} {{sigma} = \frac{10,1-11} {0,5} = 1,8

De ello se deduce el porcentaje de piezas fuera de la tolerancia máxima en la tabla Gauss: 

% HT máx =100%-98,61% = 3,59%

Por lo tanto, el porcentaje total fuera de tolerancia se deduce : 

% HT= % HTmin +% HTmax

% HT = 1,39%+3,59%≈5%