Pendant des décennies, on a répété la même chose dans les cours de statistique industrielle : en plans d’expérience, tout a été inventé entre les travaux de Fisher (1926, puis The Design of Experiments en 1935) et les années 1950. La théorie était considérée comme achevée.
Ce n’est plus vrai. Lors d’une récente intervention, Maurice Pillet, co-fondateur d’Ellistat et référence française de la qualité et du Six Sigma, a présenté deux approches qui changent concrètement la façon de mener des essais en entreprise : les Smart Designs et l’optimisation bayésienne. Voici ce qu’il faut en retenir.
Les limites des plans d’expérience classiques
Les plans d’expérience traditionnels ont rendu d’immenses services. Mais ils reposent sur des hypothèses que l’on oublie souvent.
L’hypothèse de linéarité
Un plan à deux niveaux (un min, un max) suppose que la réponse varie de façon linéaire entre les deux bornes. C’est vrai localement, comme la Terre paraît plate quand on regarde ses pieds. Dès que le domaine d’étude s’élargit ou que le phénomène est non linéaire, le modèle devient trompeur. Il faut passer à des modèles avec plus de niveaux ce qui conduit à des plans d’expériences avec un nombre d’essais souvent rédhibitoire.
Le choix des bornes
Deuxième écueil : si le min et le max ont été mal choisis, l’optimum peut se trouver en dehors du domaine étudié. Le plan donnera alors une réponse propre… mais au mauvais endroit.
Les plans de criblage et le problème des alias
Avec beaucoup de facteurs (six, par exemple), on utilise classiquement des plans de criblage : la table L12 à deux niveaux, ou la L18 pour intégrer trois niveaux. Leur défaut majeur : les effets des facteurs sont partiellement mélangés (aliassés) avec les interactions. Impossible alors de savoir sans ambiguïté si l’effet observé vient du facteur lui-même ou d’une interaction entre deux facteurs.
Smart Design : obtenir les effets principaux, la courbure et les interactions avec peu d’essais
Un cahier des charges longtemps impossible
Ce que les industriels veulent, en réalité, c’est tout à la fois :
- connaître les effets principaux sans ambiguïté ;
- détecter une éventuelle non-linéarité ;
- identifier les interactions significatives ;
- mélanger des facteurs qualitatifs à deux niveaux et des facteurs quantitatifs à trois niveaux ;
- faire le moins d’essais possible.
Jusqu’à très récemment, avec six facteurs, il n’y avait que deux options : le plan complet (irréaliste) ou un plan en surface de réponse d’au moins 54 essais. Or le modèle complet (effets principaux, termes quadratiques, interactions) compte 28 coefficients, dont la plupart sont nuls dans la pratique. Le problème : on ne sait pas à l’avance lesquels.
Ce que change le Smart Design
Des publications scientifiques récentes de Núñez et al (2020) (2023), ont permis de construire une nouvelle famille de plans. Leur propriété clé : les effets principaux ne sont corrélés ni avec les termes quadratiques, ni avec les interactions. Vous êtes sûr de vos effets principaux, et les corrélations restantes sont suffisamment faibles pour estimer les effets de second ordre.
Dans l’exemple présenté par Maurice Pillet (un catalyseur à deux niveaux, cinq autres facteurs à trois niveaux), un plan de 18 essais suffit là où il en fallait 54.
Comment on l’analyse
Plutôt qu’une sélection pas à pas classique (impossible avec moins d’essais que de coefficients), l’analyse repose sur la recherche du meilleur sous-ensemble de termes : le logiciel teste toutes les combinaisons possibles et retient le modèle le plus pertinent. Le résultat retrouve la structure réelle du phénomène, parfois avec un terme superflu de faible effet, sans conséquence pratique sur les conclusions.
Pour rendre l’outil utilisable au quotidien, plus de 2 000 plans ont été précalculés et intégrés au logiciel Ellistat. L’utilisateur saisit ses facteurs, le logiciel lui propose les plans disponibles avec leurs critères de qualité.
Le constat de Maurice Pillet est sans détour : en entreprise, il ne réalise presque plus que des Smart Designs.
Optimisation bayésienne : trouver la zone de fonctionnement quand on ne sait pas où chercher
Le cas typique : le soudage laser
Certains procédés « marchotent » : un réglage fonctionne, on change un paramètre et plus rien ne va. Maurice Pillet cite le cas d’une même pièce soudée au laser par deux fournisseurs, chacun avec des réglages totalement différents, et aucun avec des résultats pas vraiment satisfaisants. Il existe probablement une zone où le procédé fonctionne parfaitement. Mais où ?
Dans ce cas, un plan d’expérience classique, qui explore les coins d’un domaine déjà cadré, n’est pas adapté.
Quadriller ? Mauvaise idée
Le réflexe naturel est de quadriller l’espace : 4 × 4 = 16 essais. Problème : chaque valeur de chaque facteur est testée quatre fois, et une petite zone favorable peut passer entre les mailles.
Les plans de remplissage (space-filling designs) répartissent les essais de façon équilibrée, chaque essai testant une valeur différente de chaque facteur. Avec le même nombre d’essais, la probabilité de « toucher » la bonne zone augmente nettement. Mais pour ne rien rater, on serait tenté de passer à 100 essais… dont la grande majorité ne servirait à rien.
L’approche séquentielle : processus gaussiens + optimisation bayésienne
L’optimisation bayésienne combine deux outils mathématiques :
- Les processus gaussiens, qui modélisent la réponse et, surtout, l’incertitude en chaque point du domaine. Contrairement aux modèles polynomiaux, cette incertitude varie d’un endroit à l’autre.
- L’optimisation bayésienne, qui choisit les prochains essais en arbitrant entre deux logiques : exploiter les zones prometteuses, et explorer les zones encore mal connues où l’incertitude laisse espérer un meilleur résultat.
La démarche devient séquentielle : une dizaine d’essais de départ en plan de remplissage, puis le logiciel propose les essais suivants, en expliquant pourquoi. On les réalise, on observe la convergence, et on s’arrête quand la zone optimale est suffisamment documentée. Une logique beaucoup plus proche de l’intuition des techniciens que le « je fais tout le plan, puis j’analyse ».
Pour se familiariser avec la méthode, le logiciel Ellistat intègre un mode démo simulant un procédé à trois facteurs (température, pression, temps de cycle).
Smart Design ou optimisation bayésienne : quand utiliser quoi ?
Les deux approches ne s’opposent pas, elles répondent à des situations différentes :
- Smart Design : vous connaissez à peu près la zone de fonctionnement et cherchez à la modéliser finement. Trois niveaux maximum, peu de changements de réglage, idéal quand modifier un facteur coûte cher.
- Optimisation bayésienne : vous connaissez mal le procédé et devez trouver où il fonctionne. Il faut accepter de changer souvent les réglages, c’est la condition pour explorer.
Dans les deux cas, l’objectif est le même : résoudre des problèmes industriels de plus en plus complexes sans multiplier les essais.
Des mathématiques avancées, invisibles pour l’utilisateur
Derrière ces méthodes se cachent des outils mathématiques exigeants. Le parti pris d’Ellistat est de les rendre transparents. Comme le résume Maurice Pillet, l’outil n’est pas conçu pour des statisticiens, mais pour des techniciens.
Conclusion
Les plans d’expérience n’ont pas dit leur dernier mot. Les Smart Designs permettent d’obtenir en 18 essais ce qui en demandait 54, sans ambiguïté sur les effets principaux. L’optimisation bayésienne ouvre la voie à des procédés jusque-là réglés à tâtons. Pour les équipes méthodes, qualité et R&D process, c’est moins d’essais, moins de matière consommée et des réglages plus robustes.
FAQ
- Qu’est-ce qu’un Smart Design en plan d’expérience ? C’est une famille de plans récents qui permet d’estimer les effets principaux sans les confondre avec les interactions ou les effets quadratiques, tout en détectant ces effets de second ordre avec très peu d’essais.
- Quelle différence entre un plan de criblage et un Smart Design ? Un plan de criblage classique (L12, L18) mélange partiellement les effets des facteurs avec les interactions. Le Smart Design élimine cette ambiguïté sur les effets principaux et accepte les facteurs mixtes à deux et trois niveaux.
- Quand utiliser l’optimisation bayésienne plutôt qu’un plan d’expérience classique ? Quand on ne sait pas où se situe la zone de fonctionnement d’un procédé et qu’il faut l’explorer. Si la zone est déjà approximativement connue, un Smart Design est plus adapté.
- Faut-il être statisticien pour utiliser ces méthodes ? Non. Dans le logiciel Ellistat, les calculs sont masqués : l’utilisateur saisit ses facteurs, réalise les essais proposés et lit les résultats.
