A statisztikában a normális törvény (vagy normális eloszlás) az egyik legfontosabb és leggyakrabban használt valószínűségi eloszlás. Természetes törvényként vagy Gauss-eloszlásként is ismert, a matematikus tiszteletére. Carl Friedrich Gauss aki részletesen tanulmányozta a tulajdonságait.
A normális eloszlást szimmetrikus harang alakja jellemzi, ami azt jelenti, hogy a legtöbb érték az átlag körül csoportosul, és az értékek az átlagtól távolodnak, ahogy nagyobbak vagy kisebbek lesznek. A normális eloszlást két paraméter határozza meg:
- Átlag (µ): Ez a harang középpontja, amely azt az értéket képviseli, amely körül a többi érték csoportosul.
- Standard eltérés (σ): Ez az értékek szórásának mértéke az átlaghoz képest. Minél nagyobb a szórás, annál nagyobb az értékek szórása.
A normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényét a következő matematikai képlet adja meg egy véletlen változóra :
f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}
Ez az eloszlás több fontos tulajdonsággal rendelkezik:
- Szimmetria: Az eloszlás szimmetrikus az átlaga körül.
- Harang alakú: A legtöbb érték az átlaghoz közel van, és a szélsőértékek valószínűsége gyorsan csökken, ahogy távolodunk az átlagtól.
- 68-95-99,7 Szabály: Az értékek megközelítőleg 68% az átlagtól számított egy szóráson belül, 95% két szóráson belül és 99,7% három szóráson belül van.
- A normális eloszlást a statisztika számos területén használják, beleértve a statisztikai következtetést, a modellezést és a hipotézisvizsgálatot, mivel jól ismert matematikai tulajdonságai és számos természeti és kísérleti jelenségben való előfordulásának gyakorisága miatt.
Csökkentett normális eloszlás
A "centrális redukált normális" eloszlás a standard normális eloszlásra utal, azaz olyan normális eloszlásra, amelynek átlaga 0 és szórása 1. Ez az egyik leggyakrabban használt eloszlás a statisztikában.
Bármely normális változó átalakítható csökkentett centrális normálissá a változó átlagának kivonásával és a szórással való osztásával. Ez a normalizálás hasznos olyan változók összehasonlításához, amelyek eredetileg különböző mértékegységekkel vagy különböző skálákkal rendelkeznek. Emellett számos statisztikai összefüggésben egyszerűsíti a számításokat.
Egy X véletlen változó esetében, amely normál eloszlást követ μ átlaggal és σ szórással. Az X normalizálása a redukált centrális normális (gyakran Z-nek nevezik) kiszámításához a következő képlet segítségével történik :
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
A Z értéke az átlagtól való szórások számát jelenti. Lehet pozitív vagy negatív.
- A Z=2 érték azt jelenti, hogy ez a pont a µ átlag felett van, és az átlagtól való eltérés 2 σ standard eltérés.
- A Z=-3,5 érték azt jelenti, hogy ez a pont az átlagos µ alatt van, és az átlagtól való eltérés 3,5 σ standard eltérés.
Ezzel az átalakítással használhatjuk a központosított redukált normális eloszlás táblázatát. Ezt a táblázatot arra használjuk, hogy meghatározzuk az F(x) normális eloszlás eloszlásfüggvényének értékeit Z értékének függvényében.
F(Z)=\int_{-\infty }^{Z}\frac{1}{\sqrt{2\Pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}
A :
- F(Z) : A standard normális eloszlás (vagy redukált centrális normális eloszlás) eloszlásfüggvénye. Olyan matematikai függvény, amely megadja annak valószínűségét, hogy egy standard normális eloszlást követő véletlen változó kisebb vagy egyenlő egy adott értéknél.
𝐹(𝑍)=𝑃(𝑧 ≤ 𝑍)
Az F(Z) értéke mindig 0 és 1 között van, mivel ez egy valószínűség.
A standard normális eloszlás F(Z) eloszlásfüggvényének értékeit a statisztika számos területén használják valószínűségi számítások elvégzésére, beleértve a hipotézisvizsgálatot, a konfidenciaintervallumokat, a nem-megfelelési arány becslését, a folyamat megbízhatóságának becslését és más statisztikai elemzéseket.
Az F(Z) eloszlásfüggvény nem fejezhető ki elemi függvényekkel (például polinom, exponenciális vagy trigonometrikus függvényekkel), és gyakran statisztikai táblázatok vagy számítógépes szoftverek használata szükséges a Z bizonyos értékeihez tartozó valószínűségi értékek kiszámításához. A normális eloszlás esetében az F(Z) kiszámításához a redukált centrális normális eloszlási táblázatot, más néven Z-táblázatot kell használni:
Példa:
Keresse meg a következő valószínűségek értékeit a normális eloszlás segítségével:
𝑃(𝑧≤0), 𝑃(𝑧≤-2), 𝑃(𝑧≥1,55), 𝑃(-2≤ 𝑧 ≤1,55)
Megoldás:
| Valószínűség |
| 𝑃(𝑧≤0) = 0.5Pz ≤ 0 = 0.5 |
| 𝑃(𝑧≤-2)=𝑃(2≤𝑧)=1-𝑃(𝑧≤2) = 1-0,9772=0,0228 |
| 𝑃(𝑧≥1.55) = 1-𝑃(𝑧≤1.55)= 1-0.9394 = 0.0606 |
| 𝑃(-2≤𝑧≤1,55) = 𝑃(𝑧≤1,55)-𝑃(𝑧≤-2) = 0,9394-0,0228 = 0,9166 |
A tűréshatáron kívüli százalékos arány kiszámítása
Amint azt a normális eloszlás jellemzőinek megállapításakor már említettük, a normális eloszlás teljes mértékben jellemezhető, amint ismert az átlaga és a szórása. Pontosabban :
- A megfigyelések 68,27%-je az átlagtól számított egy szóráson belül van.
- A megfigyelések mintegy 95,45%-je az átlagtól számított két szóráson belül van.
- A megfigyelések 99,73%-je az átlagtól számított három szóráson belül van.
Ezek a százalékok leírják, hogy az adatok hogyan oszlanak el az átlag körül egy normális eloszlásban, értékes információt szolgáltatva az értékeknek az átlaghoz viszonyított szórásáról.
Ahhoz azonban, hogy pontosabban meg lehessen állapítani, hogy egy populációban a megengedett határértékeken kívül eső elemek hány százaléka van, ki lehet számítani a z-számot.
A z számot a következőképpen kell kiszámítani:
Z = \frac{\mu-\text{tolerancia}}{{sigma}}
A mérést a minta átlagértéke és a tűréshatár közötti standard eltérésekben fejezi ki.
A z szám meghatározása után a Gauss-táblázat vagy a központosított redukált normális eloszlási táblázat segítségével kiszámítható a tűréshatáron kívül eső elemek százalékos aránya. Ezt a táblázatot arra használják, hogy megtalálják a normális eloszlásban az átlagtól egy bizonyos távolságon túli értékek arányát (amelyet a z szám jelképez), ami segít a tűréshatáron kívül eső elemek százalékos arányának felmérésében.
Példa:
Határozza meg a teljes tűréshatáron kívüliség százalékos arányát, ha az átlagos átmérő µ=10,1 mm, a szórás σ=0,5 mm és a tűréshatár IT=[9; 11].
Számítsuk ki a zmin:
Z_{min} = \frac{\mu-\text{tolerancia}}{\sigma} = \frac{10.1-9}{0.5} = 2.2
Ez megadja a Gauss-táblázatban a min. tűréshatáron kívül eső alkatrészek százalékos arányát:
% HT min = 100% - 98.61% = 1.39%
Számítsuk ki a zmax:
Z_{max} = \frac{mu-\text{tolerancia}}{sigma} = \frac{10.1-11}{0.5} = 1.8
A Gauss-táblázatban szereplő max. tűréshatáron kívül eső alkatrészek százalékos aránya ebből levezethető:
% HT max =100%-98,61% = 3,59%
A teljes tűréshatáron túli százalékos arányt ezért levonják :
% HT= % HTmin +% HTmax
% HT = 1,39%+3,59%≈5%
