La distribuzione ipergeometrica è una distribuzione di probabilità discreta che modella il numero di successi in un campione di dimensioni fisse estratto senza sostituzione da una popolazione finita contenente un numero specifico di oggetti di successo e di fallimento. Viene spesso utilizzata per modellare situazioni in cui la selezione non è indipendente, poiché ogni estrazione influisce sulla composizione della popolazione.
Ecco le caratteristiche principali della legge ipergeometrica:
- Popolazione finita La popolazione totale contiene un numero fisso di oggetti, ad esempio carte, biglie, monete, ecc.
- Oggetti di successo e di fallimento La popolazione è divisa in due gruppi: oggetti di successo (ad esempio carte marcate, biglie vincenti) e oggetti di fallimento (ad esempio carte non marcate, biglie perdenti).
- Disegno senza sostituzione Il campione viene estratto senza restituire gli oggetti alla popolazione dopo ogni estrazione. Ciò significa che la probabilità di estrarre un oggetto cambia dopo ogni estrazione.
La funzione di massa di probabilità (PMF) della distribuzione ipergeometrica è data dalla formula :
𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶𝐾𝑘∗𝐶𝑁-𝐾𝑛-𝑘𝐶𝑁𝑛PX=k=CkK∗Cn-kN-KCnN
dove :
- N è la dimensione totale della popolazione,
- K è il numero di oggetti di successo nella popolazione,
- n è la dimensione del campione,
- k è il numero di successi nel campione,
La media (aspettativa) della distribuzione ipergeometrica è :
\mu=n*\frac{K}{N}
La varianza di una distribuzione binomiale è :
\sigma=n\frac{K(N-K)*(N-n)}{N^{2}(N-1)}
La legge ipergeometrica è utilizzata in vari campi come la statistica, la genetica, l'economia e altri settori in cui i campioni vengono estratti senza sostituzione da una popolazione finita. Si differenzia dalla distribuzione binomiale perché tiene conto delle variazioni della probabilità di successo a ogni estrazione.