La loi hypergéométrique est une distribution de probabilité discrète qui modélise le nombre de succès dans un échantillon de taille fixe tiré sans remplacement d’une population finie contenant un nombre spécifié d’objets de succès et d’échecs. Elle est souvent utilisée pour modéliser des situations où la sélection n’est pas indépendante, car chaque tirage affecte la composition de la population.
Voici les caractéristiques clés de la loi hypergéométrique :
- Population finie : La population totale contient un nombre fixe d’objets, par exemple, des cartes, des billes, des pièces, etc.
- Objets de succès et d’échecs : La population est divisée en deux groupes : les objets de succès (par exemple, cartes marquées, billes gagnantes) et les objets d’échecs (par exemple, cartes non marquées, billes perdantes).
- Tirage sans remplacement : L’échantillon est tiré sans remettre les objets dans la population après chaque tirage. Cela signifie que la probabilité de tirer un objet change après chaque tirage.
La fonction de masse de probabilité (PMF) de la loi hypergéométrique est donnée par la formule :
𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶𝐾𝑘∗𝐶𝑁−𝐾𝑛−𝑘𝐶𝑁𝑛PX=k=CkK∗Cn−kN−KCnN
où :
- N est la taille totale de la population,
- K est le nombre d’objets de succès dans la population,
- n est la taille de l’échantillon,
- k est le nombre de succès dans l’échantillon,
La moyenne (espérance) de la distribution hypergéométrique est :
\mu=n*\frac{K}{N}
La variance d’une distribution binomiale est :
\sigma=n<em>\frac{K</em>(N-K)*(N-n)}{N^{2}(N-1)}
La loi hypergéométrique est utilisée dans divers domaines tels que la statistique, la génétique, l’économie et d’autres domaines où des échantillons sont tirés sans remplacement d’une population finie. Elle diffère de la loi binomiale dans le sens où elle prend en compte l’évolution de la probabilité de succès à chaque tirage.