Hypergeometrisches Gesetz

Lesezeit

Das hypergeometrische Gesetz ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge in einer Stichprobe mit fester Größe modelliert, die ersatzlos aus einer endlichen Population gezogen wird, die eine angegebene Anzahl von Erfolgs- und Misserfolgsobjekten enthält. Sie wird häufig verwendet, um Situationen zu modellieren, in denen die Auswahl nicht unabhängig ist, da jede Ziehung die Zusammensetzung der Grundgesamtheit beeinflusst. 

Hier sind die Schlüsselmerkmale des hypergeometrischen Gesetzes : 

  • Endliche Population : Die Gesamtbevölkerung enthält eine feste Anzahl von Objekten, z. B. Karten, Murmeln, Münzen usw. 
  • Objekte des Erfolgs und des Scheiterns : Die Bevölkerung wird in zwei Gruppen unterteilt: Erfolgsobjekte (z. B. markierte Karten, gewinnende Murmeln) und Schachobjekte (z. B. nicht markierte Karten, verlierende Murmeln). 
  • Ziehung ohne Ersatz : Die Stichprobe wird gezogen, ohne die Objekte nach jeder Ziehung in die Grundgesamtheit zurückzugeben. Das bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Objekt gezogen wird, nach jeder Ziehung ändert. 

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (WMF) der hypergeometrischen Verteilung wird durch die Formel : 

𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶𝐾𝑘∗𝐶𝑁-𝐾𝑛-𝑘𝐶𝑁𝑛PX=k=CkK∗Cn-kN-KCnN

wobei : 

  • N ist die Gesamtgröße der Bevölkerung, 
  • K ist die Anzahl der Erfolgsobjekte in der Population, 
  • n ist die Größe der Stichprobe, 
  • k ist die Anzahl der Erfolge in der Stichprobe, 

Der Mittelwert (Erwartungswert) der hypergeometrischen Verteilung ist :

\c&H30D3F4&}}

Die Varianz einer Binomialverteilung ist :

\sigma=n\frac{K(N-K)*(N-n)}{N^{2}(N-1)}

Das hypergeometrische Gesetz wird in verschiedenen Bereichen wie Statistik, Genetik, Wirtschaft und anderen Bereichen verwendet, in denen Stichproben ersatzlos aus einer endlichen Grundgesamtheit gezogen werden. Sie unterscheidet sich von der Binomialverteilung insofern, als sie die Entwicklung der Erfolgswahrscheinlichkeit bei jeder Ziehung berücksichtigt.