Calculatrice

Dans cette page, on retrouve quatre calculs courants, sans jeu de données et qui permettent de répondre aux normes de contrôle de réception ISO 2859 et 3951 et de calcul d’intervalle de dispersion et de prédiction ISO 16269-6 et ISO 16269-8.

1. IQC – Attributs

Le contrôle de réception répond à une question simple : au vu d’un échantillon, accepte-t-on ou refuse-t-on le lot ? La page couvre les deux usages : retrouver un plan normalisé, ou construire un plan sur mesure.

1. Retrouver un plan normalisé (ISO 2859)

• On saisit la taille du lot, le niveau de contrôle (I, II ou III — II par défaut ; les niveaux spéciaux S-1 à S-4 pour les contrôles coûteux ou destructifs) et le NQA, niveau de qualité acceptable.
• On choisit le type de prélèvement (simple, double ou multiple) et le régime : normal, renforcé après une série de refus, réduit lorsque l’historique est bon.
• En sortie : la lettre-code, la taille d’échantillon n et les critères d’acceptation Ac et de refus Re. C’est exactement la ligne que l’on irait chercher dans les tables de la norme, sans risque d’erreur de lecture.

2. Créer un plan personnalisé

• Soit on impose directement n et Ac, et le logiciel restitue la courbe d’efficacité correspondante : on voit alors ce que ce plan accepte réellement.
• Soit on part du résultat voulu : deux points de la courbe : une qualité que l’on souhaite accepter presque toujours (p1, avec le risque fournisseur α) et une qualité que l’on veut refuser presque toujours (p2, avec le risque client β) et le plan (n, Ac) en est déduit.
• Cette seconde voie est la plus honnête : elle oblige à énoncer les deux qualités et les deux risques, là où un plan normalisé les fixe implicitement.

💡 La courbe d’efficacité est le vrai résultat, pas le couple (n, Ac). Elle donne, pour chaque proportion de défectueux du lot, la probabilité de l’accepter. Deux plans de même NQA peuvent avoir des courbes très différentes : c’est la taille d’échantillon, pas le NQA, qui fait le pouvoir de discrimination.

⚠️ Le NQA n’est pas un objectif de qualité et un plan d’échantillonnage ne garantit pas la qualité d’un lot accepté : il limite seulement, en moyenne et sur une série de lots, la probabilité d’accepter du mauvais. Un plan à Ac = 0 n’est pas non plus le plus sévère en toutes circonstances il pénalise fortement les lots corrects sans améliorer la détection des lots franchement mauvais ; comparer les courbes avant de le retenir.

2. IQC – Mesures

Même logique de réception, mais la décision ne s’appuie plus sur un comptage de défectueux : elle exploite la valeur mesurée. À protection égale, un plan aux mesures demande beaucoup moins de pièces qu’un plan aux attributs, c’est tout son intérêt lorsque le contrôle est long ou coûteux.

1. Retrouver un plan normalisé (ISO 3951)

• Les entrées sont les mêmes qu’aux attributs : taille de lot, niveau de contrôle, NQA, régime normal / renforcé / réduit. S’y ajoutent la nature de la tolérance, unilatérale ou bilatérale et le fait que l’écart type du procédé soit connu ou non.
• Méthode « sigma inconnu » (méthode s) : l’écart type est estimé sur l’échantillon. C’est le cas courant, il demande un échantillon un peu plus grand.
• Méthode « sigma connu » (méthode σ) : on utilise une valeur d’écart type établie et maintenue stable. Échantillon plus petit, mais l’hypothèse doit être vérifiée régulièrement.
• En sortie : la taille d’échantillon n et la constante d’acceptation k. Le lot est accepté si la moyenne reste à plus de k écarts types de la tolérance — (Tol. max − X̄) / s ≥ k, et symétriquement du côté inférieur. Sur tolérance bilatérale, la décision passe par l’estimation de la proportion hors tolérance totale.

2. Créer un plan personnalisé

• Soit on impose n et k, et la courbe d’efficacité montre ce que ce plan accepte réellement.
• Soit on fixe deux points de la courbe, la qualité à accepter presque toujours (p1, risque fournisseur α) et celle à refuser presque toujours (p2, risque client β) et le couple (n, k) en est déduit.

💡 Comparer les deux pages sur un même cas est l’exercice le plus parlant : pour une protection identique, le plan aux mesures divise souvent la taille d’échantillon par trois ou quatre. C’est l’argument à présenter quand le contrôle est destructif.

⚠️ Cette économie a un prix : le plan aux mesures suppose la normalité de la caractéristique. Sur une distribution dissymétrique ou tronquée: un défaut de forme, une excentration, une caractéristique déjà triée, la proportion hors tolérance estimée est fausse, et le plan n’offre pas la protection annoncée. Vérifier l’adéquation de loi avant de retenir un plan aux mesures ; dans le doute, revenir aux attributs.

⚠️ Un plan par caractéristique. Contrairement aux attributs, où une pièce est défectueuse ou non, le contrôle aux mesures juge une grandeur à la fois : plusieurs caractéristiques critiques imposent plusieurs plans, et le risque global d’acceptation n’est plus celui d’un plan isolé.

3. Limites cartes de contrôle

Trace une courbe d’efficacité selon les paramètres, pour dimensionner une carte avant de la mettre en place.

Le calcul se fait en trois temps : estimer le sigma court terme, choisir le critère de placement des limites, puis lire la courbe d’efficacité pour vérifier ce que la carte ainsi dimensionnée est réellement capable de détecter.

1. L’origine du sigma court terme

• À partir d’un jeu de mesures : écart type intra-échantillon (S̄/c4) ou étendue moyenne (R̄/d2). C’est la source la plus fiable, mais elle suppose des sous-groupes rationnels correctement constitués.
• À partir d’une capabilité connue : σct = IT / (6 × Cp). Utile en dimensionnement, quand seule la capabilité du procédé est documentée.
• Sigma imposé : une valeur historique ou de référence, quand la carte doit rester comparable d’une période à l’autre plutôt que se recaler sur chaque lot.

⚠️ Le sigma court terme conditionne tout le reste. Estimé sur des échantillons mal constitués, il est gonflé : les limites deviennent trop larges et la carte ne détecte plus rien. Estimé sur trop peu d’échantillons, il est instable et la courbe d’efficacité le montre immédiatement.

2. Les trois jeux de limites proposés

💡 Le choix ne porte pas sur la précision du calcul mais sur ce que l’on veut piloter. Sur un procédé très capable, les limites garantissant un Cpk sont nettement plus larges que ± 3 sigma : on laisse la moyenne dériver tant que la conformité n’est pas en jeu, et on supprime des interventions inutiles. Sur un procédé juste capable, elles sont au contraire plus serrées que ± 3 sigma et si elles se croisent, aucun réglage ne permettra de tenir la tolérance : le problème est la dispersion, pas la conduite.

💡 La courbe d’efficacité donne, pour chaque décentrage possible, la probabilité que la carte le détecte. C’est elle qui arbitre la taille d’échantillon : doubler n resserre les limites en √n et redresse la courbe, au prix du coût de prélèvement.

4. Intervalle de dispersion

L’intervalle qui contient une proportion donnée de la population, à partir d’une taille d’échantillon. Se calcule par Méthode S ou Méthode Sigma.

À partir d’un échantillon, on veut encadrer non pas la moyenne mais la population elle-même : entre quelles bornes se situe une proportion donnée des pièces, et avec quelle confiance ? C’est l’objet des intervalles statistiques de dispersion (ISO 16269-6) et de prédiction (ISO 16269-8).

1. Ce que l’on saisit

• La taille d’échantillon n, la moyenne et l’écart type observés ou directement les paramètres supposés en dimensionnement a priori.
• La proportion de population à couvrir (souvent 95 %, 99 % ou 99,73 %) et le niveau de confiance associé (souvent 95 %).
• La forme de l’intervalle : bilatéral, ou unilatéral quand une seule borne fait sens : une résistance minimale, une teneur maximale.

2. Méthode S ou Méthode Sigma

• Méthode S : l’écart type est estimé sur l’échantillon. Le coefficient k intègre alors deux incertitudes, celle sur la moyenne et celle sur la dispersion ; il est d’autant plus grand que n est petit. C’est le cas général.
• Méthode Sigma : l’écart type est considéré comme connu, issu d’un historique de procédé maîtrisé. L’intervalle est nettement plus resserré mais il n’est valable que si cette valeur l’est vraiment.
• Les bornes s’écrivent X̄ ± k × s (ou k × σ), le coefficient k étant fourni par le calcul en fonction de n, de la proportion visée, de la confiance et de la forme retenue.

3. Trois intervalles à ne pas confondre

• Intervalle de confiance : encadre un paramètre : la moyenne, l’écart type. Il se resserre vers zéro quand n augmente.
• Intervalle de dispersion (ou de tolérance statistique) : encadre une proportion de la population. Il tend vers l’intervalle vrai de la population, pas vers zéro.
• Intervalle de prédiction : encadre la ou les prochaines observations à venir. C’est le bon outil pour « la prochaine pièce produite sera-t-elle dans tel domaine ? ».

💡 L’usage le plus fréquent est la validation de conformité sur petite série : si l’intervalle de dispersion à 99 % / 95 % reste à l’intérieur des tolérances, on peut affirmer, avec la confiance annoncée, que la production les respecte. C’est un raisonnement plus solide que la simple comparaison min-max de l’échantillon, qui ne prouve rien sur ce qui n’a pas été mesuré.

⚠️ Le coefficient k n’est pas 3 : pour couvrir 99,73 % de la population avec 95 % de confiance, k vaut nettement plus de 3 sur un petit échantillon, et ne s’en approche que pour n grand. Utiliser X̄ ± 3s sur 20 mesures revient à annoncer une garantie que les données ne portent pas.

⚠️ Comme les capabilités, ces intervalles supposent une loi normale par défaut. Sur des données non normales, vérifier l’adéquation ou passer par la loi ajustée plutôt que d’appliquer un k normal à une distribution qui ne l’est pas.

💡 L’intervalle de dispersion est l’outil du cas « j’ai 30 mesures, quelles bornes puis-je garantir sur la population ? ». La réponse dépend fortement de la taille d’échantillon, et l’écart entre 30 et 100 mesures surprend souvent.

5. Intervalle de prédiction

L’intervalle de prédiction ne porte ni sur un paramètre ni sur l’ensemble de la population : il encadre les prochaines observations. La question devient « au vu de ce que j’ai mesuré, entre quelles bornes tombera la pièce suivante ou les m pièces suivantes avec une confiance donnée ? ».

1. Ce que l’on saisit

• Les résultats de l’échantillon initial : taille n, moyenne, écart type ou l’écart type de référence si le procédé est connu.
• Le nombre d’observations futures à couvrir : une seule, ou m valeurs à venir.
• Le niveau de confiance et la forme, bilatérale ou unilatérale.
• En sortie, les bornes X̄ ± k × s. Pour une observation future avec écart type estimé, k = t(1−α/2 ; n−1) × √(1 + 1/n) : le terme 1 couvre la variabilité de la pièce à venir, le terme 1/n l’incertitude sur la moyenne.

2. Quand l’utiliser

• Qualification et essais : garantir la valeur d’une prochaine pièce, d’un prochain lot ou d’un prochain essai à partir d’une série limitée.
• Surveillance : borner ce qu’une mesure isolée peut valoir si le procédé n’a pas changé, une valeur hors intervalle de prédiction est un signal, non une non-conformité.
• Engagement sur une livraison à venir plutôt que sur la population déjà produite : c’est là que la confusion avec l’intervalle de dispersion coûte le plus cher.

💡 Un intervalle de prédiction est toujours plus large qu’un intervalle de confiance sur la moyenne, et il ne se resserre pas vers zéro : même avec une infinité de mesures, la pièce future garde sa propre variabilité. Augmenter n améliore la connaissance du procédé, pas la reproductibilité de la prochaine pièce.

💡 Couvrir m observations futures simultanément élargit l’intervalle : exiger que les 10 prochaines pièces y tombent toutes est bien plus contraignant que de le demander pour une seule. Le nombre d’observations à couvrir doit donc correspondre à l’engagement réellement pris.

⚠️ Le calcul suppose que le procédé reste dans le même état, et une loi, normale par défaut. Il ne prédit rien après un changement de réglage, de matière ou d’outil : ce que couvre l’intervalle, c’est la variabilité observée, pas une dérive à venir. La carte de contrôle reste le garde-fou.