Chaînes de cotes

Les deux écrans précédents traitent une caractéristique à la fois. Celui-ci traite un assemblage complet : plusieurs exigences fonctionnelles, plusieurs cotes, et surtout des cotes qui participent à plusieurs exigences en même temps.

4.1 Le problème des exigences couplées

Un carter reçoit un arbre : le jeu axial doit rester entre 0,100 et 0,500, mais également un autre jeu qui se calculent à partir des mêmes cotes usinées. Resserrer une cote pour tenir le premier jeu consomme du budget sur le second. Répartir les tolérances exigence par exigence, chacune dans son coin, conduit soit à des tolérances inutilement serrées, soit à une exigence qui ne tient pas.

L’écran Chaînes de cotes répartit les tolérances sur toutes les cotes en satisfaisant toutes les exigences simultanément. Chaque exigence s’écrit comme une combinaison linéaire des cotes : Y = Σ αᵢ · Xᵢ, où le coefficient α vaut +1 si la cote s’ajoute, −1 si elle se retranche, ou toute autre valeur si elle intervient avec un bras de levier.

💡 C’est le seul écran du menu où l’on ne raisonne plus sur une caractéristique mais sur un assemblage. Il répond à trois questions : quelles tolérances écrire sur le plan, quelle cote surveiller en priorité, et que se passe-t-il si un lot arrive hors tolérance sur l’une d’elles.

L’onglet Répartition : une colonne = une cote

Toute l’analyse tient dans une seule grille, et la règle de lecture est simple : une colonne est une cote, et l’on descend cette colonne pour tout savoir d’elle. Le bloc de gauche reste figé quand on défile horizontalement, l’en-tête reste figé quand on défile verticalement c’est ce qui rend l’écran tenable sur des dossiers de cent cinquante cotes.

De haut en bas :

• Cible : la cote nominale ;
• Pondération β : le poids relatif de la cote dans la répartition. À 1,00 partout, le budget se répartit à parts égales ; une cote difficile à usiner reçoit un β plus grand pour capter une part plus large ;
• Tolérance figée : la tolérance imposée d’avance, quand la cote n’est pas négociable — composant du commerce, pièce déjà en production ;
• le bloc des exigences : une ligne par exigence, et à l’intersection de la ligne et de la colonne, le coefficient α de la cote dans cette chaîne ;
• la criticité : le nombre de chaînes auxquelles la cote participe, et sa gravité propagée (§4.7) ;
• les tolérances réparties : le résultat, sur six lignes — une par convention de tolérancement (§4.5).

La grille se manipule au clavier comme un tableur : clic pour éditer une cellule, glisser ou Maj+clic pour sélectionner une plage, Ctrl+C et Ctrl+V pour copier-coller, Ctrl+Maj+V pour coller en transposé, Suppr pour effacer. Cliquer le nom d’une exigence n’affiche que ses cotes — avec cent cinquante colonnes, retrouver à l’œil les quatre cellules non nulles d’une chaîne est impossible.

Déclarer les exigences

Chaque exigence porte un nom, une gravité G, et son intervalle. Les quatre colonnes Mini, Maxi, Cible et Tol. sont éditables et synchronisées : modifier Mini ou Maxi recalcule la cible et la tolérance ; modifier la cible déplace l’intervalle en conservant sa largeur ; modifier la tolérance élargit ou resserre autour de la cible. On saisit donc dans le sens que l’on a sous la main, plan ou cahier des charges.

Les colonnes suivantes, séparées par un filet, ne se saisissent pas : ce sont les valeurs obtenues, c’est-à-dire ce que donnent réellement les tolérances réparties, recomposées selon quatre hypothèses — cible, pire des cas, gaussienne, uniforme.

⚠️ La colonne Cible obtenue est un garde-fou de saisie, et pas seulement un résultat. Elle vaut Σ αᵢ · cibleᵢet se compare à la cible déclarée. Si la chaîne est juste, la cellule est verte. Inverser un signe dans une chaîne de cent cinquante cotes fait passer la cellule au rouge immédiatement, avec l’écart en infobulle : dans l’exemple de référence, inverser le coefficient de E dans Jeu2 amène la cible obtenue à 44,300 au lieu de 0,300. C’est une journée de recherche économisée.

La répartition : le plus serré d’abord

Le calcul est instantané et se relance à chaque frappe. Le principe tient en quatre temps :

• pour chaque exigence non encore traitée, on calcule le serrage qu’elle imposerait aux cotes encore libres ;
• on retient l’exigence la plus contraignante — celle dont le serrage est le plus petit ;
• on répartit son budget sur ses cotes libres, au prorata des pondérations β ;
• ces tolérances deviennent des contraintes pour les exigences suivantes, et l’on recommence.

Traiter la contrainte la plus dure en premier est ce qui permet aux exigences plus larges de récupérer ce qui reste au lieu de se voir imposer une valeur qu’elles n’avaient pas besoin de subir. Dans l’exemple de référence, Jeu1 — quatre cotes pour la même tolérance — passe avant Jeu2, et E, qui n’appartient qu’à Jeu2, hérite du budget que Jeu1 n’a pas consommé : 0,300 contre 0,100 pour les quatre autres cotes en pire des cas.

Le bouton Figer les tolérances calculées transforme le résultat en donnée : les tolérances réparties deviennent des tolérances imposées, et les colonnes obtenues deviennent une vérification. C’est le geste à faire quand la répartition est arrêtée et que l’on veut éprouver des variantes autour d’elle. Libérer rend la main au calcul. Il n’y a pas de mode à déclarer : l’écran s’adapte à ce qui est figé et à ce qui ne l’est pas.

💡 Dans chaque colonne, la cellule de l’exigence qui a fixé la tolérance de la cote est surlignée. Sur deux chaînes, on devine ; sur cinquante, c’est l’information la plus utile de l’écran, elle dit à qui aller demander du budget si une cote est trop serrée.

Les six conventions de tolérancement

Les six lignes de résultat ne sont pas six variantes de calcul : ce sont six promesses différentes faites au fournisseur, et donc six niveaux de tolérance différents pour la même exigence.

💡 Les six conventions sont calculées en permanence, toutes les six. Le sélecteur Mode affiché ne change pas le calcul, il choisit la ligne mise en avant et celle qui alimente la gravité propagée. Comparer les lignes entre elles est instructif : sur l’exemple de référence, passer du pire des cas au statistique quadratique double la tolérance des cotes A à D.

⚠️ Sur une chaîne de moins de trois cotes, la composition uniforme dépasse le pire des cas — sur Jeu2, 0,505 contre 0,400. Ce n’est pas une anomalie de calcul : c’est une propriété arithmétique de la somme quadratique, qui ne devient favorable qu’à partir de trois cotes. L’écran le signale, faute de quoi on lirait « uniforme rouge » comme un mauvais compromis alors que la chaîne est simplement trop courte pour que cette lecture ait un sens.

Les valeurs obtenues : une seule règle de couleur

Tenu, c’est vert. Dépassé, c’est rouge. Il n’y a pas de troisième teinte, pas de colonne verdict, pas de mode à déclarer. Le survol d’une cellule donne la marge restante ou le dépassement chiffré, et la valeur est toujours écrite dans la cellule : la couleur ne porte jamais l’information seule.

La lecture utile est celle des quatre colonnes ensemble. Une exigence verte en gaussienne et rouge en pire des cas et en uniforme n’est pas tenue dans l’absolu : elle est tenue à condition que le fournisseur centre ses cotes. C’est exactement ce que dit la convention retenue, et c’est ce qu’il faudra écrire dans le contrat.

La gravité propagée : quelle cote surveiller

C’est la sortie la plus directement actionnable de l’écran. Une exigence porte une gravité — 7 dans l’exemple, sur l’échelle que vous utilisez déjà dans vos AMDEC. Cette gravité se propage aux cotes qui la servent, en proportion de ce que chacune consomme du budget de l’exigence, et une cote qui sert plusieurs exigences cumule leurs gravités.

Le calcul retient cinq critères : la gravité de l’exigence, le poids de la cote dans la chaîne, son resserrement par rapport au juste nécessaire, la convention de tolérancement retenue, et le nombre d’exigences concernées. Le résultat est une note par cote, affichée dans la ligne Gravité propagée et colorée par bandes — vert, jaune, orange, rouge — dont les seuils sont éditables et enregistrés avec l’analyse.

La convention compte, et c’est volontaire. Le pire des cas garantit l’exigence quel que soit le centrage ; la statistique suppose les cotes centrées, et un décentrage vient alors s’ajouter directement à la moyenne de la résultante. Une convention statistique est donc une promesse conditionnelle, et une cote qui en dépend porte plus de risque : sur l’exemple, la même cote passe de 4,95 en pire des cas à 6,42 en statistique quadratique. À l’inverse, les modes inertiels budgètent explicitement le décentrage et font baisser la note.

Le panneau de droite complète la ligne par un Pareto des cotes les plus graves, une option d’affichage des colonnes par gravité décroissante, et une phrase de conclusion : dans l’exemple, « E porte la gravité la plus forte (7,09) : c’est la première cote à inscrire au plan de contrôle ». C’est le pont direct vers le plan de contrôle et vers les cartes de contrôle du SPC.

💡 La ligne Nombre de chaînes, juste au-dessus, se lit avec elle. Une cote qui intervient dans plusieurs exigences est un point de couplage : la relâcher soulage plusieurs chaînes à la fois, la resserrer les pénalise toutes. L’écran la désigne nommément dans ses diagnostics.

L’utilisation du budget

Une jauge par exigence donne l’intervalle obtenu rapporté à l’intervalle disponible, en pourcentage. À 100 %, le budget est consommé exactement — c’est le cas des deux exigences de l’exemple. En dessous, l’exigence n’utilise pas tout ce à quoi elle a droit : il y a de la tolérance à récupérer, sauf si ses cotes sont figées, auquel cas la sous-consommation est une marge et non un gaspillage. L’écran fait la distinction tout seul.

Le bloc Diagnostics, en bas de la colonne, résume l’état de la répartition : exigences tenues ou non, cotes de couplage, budgets non consommés.L’onglet Simulation : ce que la répartition ne dit pas

La répartition répond à « quelles tolérances écrire ». Elle ne répond pas à « et si les cotes ne sont pas centrées ». L’onglet Simulation tire un grand nombre de situations d’assemblage possibles et regarde, exigence par exigence, combien d’entre elles restent capables.

Une situation n’est pas une pièce : c’est un état du procédé. Pour chaque cote, on tire un décentrage et un écart-type dans le domaine que sa convention lui autorise, puis on compose analytiquement la moyenne et l’écart-type de l’exigence. Sous hypothèse gaussienne le résultat est exact, et le calcul est mille fois plus rapide qu’une génération pièce à pièce : deux mille situations sur cinquante exigences tiennent en quelques millisecondes. Chaque point du graphique est un assemblage possible, pas une pièce.

Convention par cote. Le tableau de gauche porte, pour chaque cote, sa convention de tolérancement et son Cpk minimal. Ce sont bien des attributs par cote : deux cotes du même assemblage peuvent venir de fournisseurs qui ne s’engagent pas sur la même capabilité. La ligne d’application groupée en tête — un sélecteur de méthode, un champ Cpk, un bouton Appliquer — propage une valeur à toutes les cotes en une action, et les deux champs sont indépendants.

Plan. Le nombre de situations, le Cpk cible sur les Y — le seuil en dessous duquel une situation est déclarée non capable — et le Cp max des cotes, qui borne la performance que l’on accepte de prêter à un fournisseur.

Hypothèse. Au pire, chaque cote est produite exactement au Cpk minimal exigé : c’est le fournisseur qui en fait le strict minimum. Réaliste, le Cpk de chaque cote est tiré entre son minimum exigé et le Cp max : certains fournisseurs font mieux que le contrat. La différence entre les deux réponses mesure ce que vous devez à la bonne volonté de vos fournisseurs.

La dérogation : puis-je assembler ce lot ?

Le bloc Dérogation permet de figer une ou plusieurs cotes sur leurs valeurs mesurées — décentrage et écart-type constatés les autres continuant de varier dans leur domaine. La simulation dit alors quel risque porte réellement l’assemblage avec ce lot-là.

💡 C’est la décision de concession que l’on prend tous les jours en usine, le plus souvent au jugé : un lot est hors tolérance sur une cote, faut-il le rebuter ? L’écran répond avec un chiffre, et la réponse est fréquemment que le lot est assemblable parce que les autres cotes de la chaîne disposent de marge.

Lire les triangles de conformité

Chaque exigence a son triangle : en abscisse la moyenne de la résultante, en ordonnée son écart-type. La région en aplat est celle où le Cpk cible est tenu ; sa forme triangulaire dit l’essentiel plus on est décentré, moins on a droit à de dispersion. Un point vert est une situation capable, un point rouge une situation qui ne l’est pas.

Toutes les exigences sont affichées en même temps, en vignettes, avec leur pourcentage de situations non capables en tête. Le tri par risque décroissant les met dans l’ordre où il faut les regarder, la case seulement à risque masque celles qui ne posent pas de problème. Cliquer une vignette la reprend en grand, avec les contours iso-Cpk 0,67 · 1 · 1,33 · 1,67 ; cliquer un point détaille la situation correspondante et affiche, sous le triangle, la distribution de l’exigence dans cette situation avec ses Pp, Ppk et ses taux de dépassement de part et d’autre.

Le panneau Résultats donne, pour l’exigence affichée, le pourcentage de situations non capables, le Cpk médian, le Cpk au 5ᵉ percentile, le Cpk minimal rencontré et le ppm moyen face au ppm au pire. La Vue d’ensemble termine par le nombre d’exigences à risque et désigne la plus critique, en croisant le risque et la gravité.

⚠️ L’écart entre le ppm moyen et le ppm au pire est la vraie information de cet écran. Dans l’exemple, 1 867 ppm en moyenne mais 299 425 ppm dans la pire des situations tirées : la répartition est correcte en moyenne et catastrophique dans un cas particulier qui, lui, arrivera. Un Cpk médian confortable n’est pas une garantie ; c’est le 5ᵉ percentile qu’il faut regarder.

💡 Les triangles ne dépendent pas des tolérances seules mais des conventions déclarées par cote. Rejouer la simulation en passant les cotes du statistique quadratique au pire des cas, ou en abaissant le Cpk exigé d’un fournisseur, chiffre immédiatement ce que coûte ou rapporte la négociation.

Enregistrement de l’analyse

Une analyse de chaînes de cotes est un livrable qui vit plusieurs années et que l’on reprend à chaque évolution du produit. Elle s’enregistre donc entièrement : cotes, cibles, pondérations, tolérances figées, exigences et leurs intervalles, coefficients, bandes de gravité, conventions et Cpk par cote, dérogations, réglages de simulation. Le nom de l’analyse et son état (enregistré ou modifié) sont affichés en barre de titre, et les compteurs de cotes et d’exigences permettent de redimensionner la grille.

💡 Rouvrir une analyse restitue exactement les mêmes résultats, y compris le nuage de la simulation : le tirage est reproductible. C’est ce qui permet de justifier en audit, deux ans plus tard, pourquoi telle tolérance a été retenue.