Monte-Carlo-Simulation

Wozu dient sie?

Hier ist der Zusammenhang zwischen den Merkmalen bekannt: Es handelt sich um eine Formel. Die Berechnung einer Federsteifigkeit, eines Montageabstands oder eines Übersetzungsverhältnisses. Jeder Faktor X hat eine Toleranz, eine Verteilungsgesetzmäßigkeit und eine Anforderung an die Leistungsfähigkeit. Die Frage lautet: Welche Verteilung von Y ergibt sich daraus, wie hoch ist die Nichtkonformitätsrate und welcher Faktor ist für was verantwortlich?

Die Antwort ergibt sich durch Ziehverfahren: Hunderttausende virtueller Teile werden hergestellt und anschließend vermessen. Der Bildschirm arbeitet ausschließlich in X- → Y-Richtung.

Das zweistufige Modell: Charge, dann Stück

Das ist der Punkt, der diese Simulation von allen anderen unterscheidet, und das muss man verstehen, bevor man ein Ergebnis liest.

Toleranzberechnungsprogramme ordnen die Teile einem einzigen, auf den Zielwert zentrierten Toleranzbereich mit der maximal zulässigen Streuung zu. Das ist die Annahme des perfekten Lieferanten: Sein Mittelwert weicht niemals ab. Die industrielle Realität sieht anders aus: Der Mittelwert einer Charge entspricht nicht dem der nächsten Charge – aufgrund von Werkzeug-, Material-, Maschinen- oder saisonalen Wechseln.

Ellistat Die Simulation erfolgt also auf zwei Ebenen. Für jede Charge wird zunächst für jeden Faktor ein Mittelwert und eine Standardabweichung ermittelt; anschließend werden die Teile dieser Charge um diesen Einstellwert herum generiert. Dies ist das Modell vom Typ D gemäß ISO 22514-2 (variable Position und variable Streuung), und genau dadurch lässt sich die wirklich entscheidende Frage beantworten: nicht «Entspricht ein Einzelteil den Anforderungen?», sondern «Ist eine zufällig entnommene Charge fähig? ».

⚠️ Die Festlegung der Losgröße ist nicht frei wählbar: Ein dezentriertes Los muss zwangsläufig enger sein, da es dennoch den für den Faktor geforderten Mindest-Cpk-Wert einhalten muss. Diese Kopplung ist kein Berechnungsartefakt, sondern das Verhalten eines Lieferanten, der seine Leistungsfähigkeit steuert – und sie ist direkt im Konformitätsdreieck sichtbar.

Die X-Faktoren angeben

Die Tabelle in der ersten Spalte wird Zeile für Zeile – jeweils ein Faktor pro Zeile – über die Schaltfläche „+ Faktor“ ausgefüllt. Die Spalten lassen sich in drei Gruppen unterteilen:

⇒ die Identität des Faktors: sein Name – den Sie in der Formel verwenden werden – und seine Verteilung (Gauß-Verteilung, Gleichverteilung, Dreiecksverteilung, Log-Normalverteilung);

• die Toleranz der Zeichnung: Min und Max, d. h. die Angaben auf der Zeichnung;
• Anforderung pro Charge: der Mindest-Cpk-Wert, zu dessen Einhaltung sich der Lieferant hinsichtlich dieses Faktors verpflichtet;
• die zulässige Streuung von Charge zu Charge: der Bereich, innerhalb dessen der Chargendurchschnitt schwanken darf (μ min, μ max), sowie die maximale Standardabweichung σ max.

💡 Verteilungen werden nicht durch ihre natürlichen Parameter definiert, sondern durch (Mittelwert, Standardabweichung). Dadurch lässt sich jede Verteilung anhand einer Cpk-Anforderung steuern und können Verteilungen bei gleicher Fähigkeitslage miteinander verglichen werden.

Der Y-Ausgang und seine Formel

Unterhalb der Faktortabelle werden im Block „Y-Ausgang“ die Formel, der Name der berechneten Größe, deren Toleranz (Min und Max) sowie gegebenenfalls eine Standardabweichung des Rauschens eingegeben – alles, was die Formel nicht erklärt: nicht modellierte Phänomene, Messunsicherheit bei Y.

Die Formel wird im Klartext mit den Namen der Faktoren geschrieben. Die üblichen Operatoren werden akzeptiert, darunter ^ für die Potenz, sowie die Funktionen sqrt, abs, exp, log, log10, sin, cos, tan, atan, min, max, pow und die Konstante PI. Ein Eingabefehler wird genau an der Stelle gemeldet, an der er auftritt, zusammen mit dem betreffenden unbekannten Namen.

⚠️ Wenn bei einigen Ziehungen ein undefinierter Wert entsteht (Division durch Null, Wurzel aus einer negativen Zahl), wird deren Anzahl angezeigt. Das ist kein nebensächliches Detail: Es bedeutet, dass Ihre Formel nicht über den gesamten Toleranzbereich Ihrer Faktoren gültig ist.

Der Simulationsplan

In der Spalte „Absicht“ werden die Parameter für die Simulation festgelegt: die Anzahl der Chargen, die Stückzahl pro Charge, die Stichprobenmethode, die Art der Variabilität zwischen den Chargen sowie der Ziel-Cpk-Wert pro Charge, unterhalb dessen eine Charge als nicht fähig eingestuft wird.

Die drei Arten der Variabilität zwischen den Chargen beantworten drei verschiedene Fragen:

⚠️ Der gewählte Modus verändert die Ergebnisse grundlegend: Der Wechsel von «ideal» zu «im schlimmsten Fall» kann die Nichtkonformitätsrate um mehrere Größenordnungen erhöhen, ohne dass eine Toleranz geändert wurde. In den meisten realen Fällen ist es die Einstellabweichung und nicht die Maschinenstreuung, die den Ausschlag gibt.

Für die Stichprobenziehung stehen der lateinische Hyperwürfel (standardmäßig ausgewählt) oder das einfache Monte-Carlo-Verfahren zur Auswahl. Der lateinische Hyperwürfel verteilt die Ziehungen gleichmäßiger über den Bereich und liefert bei gleicher Anzahl von Elementen ein deutlich stabileres Ergebnis – umso mehr, als die Formel einer Summe nahekommt, was bei allen Quotenfolgen der Fall ist.

Die Berechnung wird über die Schaltfläche „Simulieren“ gestartet. Jede Änderung eines Parameters macht das angezeigte Ergebnis ungültig, und die Schaltfläche wird wieder hervorgehoben: Was Sie sehen, entspricht immer der zuletzt durchgeführten Berechnung, niemals der aktuellen Eingabe. Die Berechnungszeit und die Anzahl der simulierten Teile werden in der Titelleiste angezeigt.

Die fünf Grafiken

Verteilung von Y. Das Histogramm des Ausgangsmerkmals mit seinen Spezifikationsgrenzen. Im Maßstab «eine Charge» wird das Histogramm der ausgewählten Charge über das Histogramm der gesamten Population gelegt, das ausgeblendet ist: So lässt sich auf einen Blick erkennen, wo sich diese Charge innerhalb der Gesamtheit einordnet.

Verteilungen der X-Werte. Ein Diagramm pro Faktor, und in jedem Diagramm eine Kurve pro Charge, die anhand der für diese Charge ermittelten Einstellung gezeichnet wurde. Die Kurven sind entsprechend der Fähigkeitskurve der Charge auf der Y-Achse farblich gekennzeichnet: So lässt sich sofort erkennen, was die fehlerhaften Chargen bei diesem Faktor gemeinsam haben (eine verschobene Position oder eine größere Streuung). Ein grauer Hintergrund stellt die Mischung aller Chargen dar, d. h. die tatsächlich produzierte Verteilung, die oft wesentlich breiter ist als die einer einzelnen Charge. Die ausgewählte Charge wird darüber mit einer dicken Linie dargestellt, die Toleranzen des Faktors mit einer gestrichelten Linie.

Unterhalb der Grafik wird in einem diagnostischen Satz beschrieben, was nicht fähige Chargen auszeichnet: die Abweichung eines Faktors oder dessen Streuung mit der entsprechenden Korrelation.

Beitrag zur Varianz. Sortierte horizontale Balken, einer pro Faktor, die die Frage beantworten: «Wenn ich nur eine einzige Toleranz verschärfen müsste, welche wäre das?» Jeder Balken ist in zwei Farbtöne unterteilt: den Anteil, der auf die Streuung innerhalb der Chargen zurückzuführen ist, und den Anteil, der auf die Abweichung von einer Charge zur anderen zurückzuführen ist. Ein Schnurrbart gibt das Konfidenzintervall des Indexes an, und zwei zusätzliche Balken heben die Wechselwirkungen und das Rauschen hervor.

💡 Dies ist die nützlichste Unterscheidung auf dem Bildschirm. Wenn der Beitrag eines Faktors hauptsächlich auf die Streuung zwischen den Chargen zurückzuführen ist, ändert eine Feinjustierung der Maschine nichts daran: In diesem Fall muss die Zentrierung beibehalten werden. Stammt er hingegen aus der Streuung innerhalb einer Charge, muss die Produktionsmethode verbessert werden. Diese beiden Hebel haben weder die gleichen Kosten noch denselben Verantwortlichen.

⚠️ Wenn die Summe der Beiträge nicht genau 100 % ergibt, wird die Differenz durch die Wechselwirkungen berücksichtigt: Die Formel ist keine einfache Summe, und eine klassische quadratische Summierung würde die Streuung von Y unterschätzen.

Konformitätsdreieck. Ein Punkt pro Charge, platziert entsprechend dem Mittelwert und der Standardabweichung dieser Charge, grün, wenn sie konform ist, rot, wenn nicht. Die Konturlinien sind die Iso-Cpk-Kurven: Die Kurve, die dem Ziel-Cpk entspricht, begrenzt den zulässigen Bereich. Die Dreiecksform ist keine grafische Wahl, sondern das Modell selbst: Je stärker eine Charge vom Mittelwert abweicht, desto geringer darf ihre Streuung sein. Jeder Punkt ist anklickbar und wechselt die Ergebnisspalte auf diese Charge.

Ausgewählte Charge. Das Histogramm der einzigen ausgewählten Charge, wobei die Teile außerhalb der Toleranz rot dargestellt sind, die angepasste Normalverteilung und der Mittelwert der Charge als gestrichelte Linie. Dies ist die Bestandsaufnahme: Das hätte der Kunde erhalten, wenn diese Charge ausgeliefert worden wäre.

Die Ergebnisse: die gesamte Simulation oder ein Los

Die rechte Spalte verfügt über einen Schalter mit zwei Positionen, und das ist ein wesentlicher Unterschied.

Die gesamte Simulation liefert das Verhalten der erzeugten Population: Mittelwert, Standardabweichung, beobachtete Spannweite, Schiefe und Plattheit, Ausschussrate in ppm, Pp und Ppk. Der Block «Chargenrisiko» ergänzt die Informationen, die der Mittelwert verschleiert: den medianen Cpk-Wert der Chargen, den Cpk-Wert des fünften Perzentils, die Anzahl der Chargen unterhalb des Zielwerts sowie die daraus resultierende Aussage – „eine zufällig ausgewählte Charge weist ein so hohes Risiko auf, nicht fähig zu sein“.

Eine Charge liefert detaillierte Angaben zu einer bestimmten Charge: ihren Cpk-Wert, ihren Mittelwert, ihre Standardabweichung, ihre Ausschussquote und vor allem die für sie ermittelte Einstellung, Faktor für Faktor. Das ist die Antwort auf die Frage, die man sich angesichts einer abweichenden Charge stellt: Warum gerade diese? Ein Satz bezeichnet den Faktor, der am stärksten dafür verantwortlich ist.

Drei Möglichkeiten zur Auswahl der Charge, die alle synchronisiert sind: Klicken Sie auf einen Punkt im Konformitätsdreieck, wählen Sie ihn aus der Dropdown-Liste aus (jeder Eintrag zeigt seinen Cpk-Wert an) oder verwenden Sie die Schaltfläche „Kritischste Charge“, die direkt zur ungünstigsten Charge springt.

⚠️ Die Nichtkonformitätsrate ist eine Schätzung, deren Unsicherheit zusammen mit ihr angegeben wird: «710 ppm ± 23 % bei 95 % mit 100.000 Teilen». Eine niedrige Nichtkonformitätsrate erfordert eine große Anzahl von Teilen, um genau bestimmt werden zu können (die zur Erreichung von ±5 % erforderliche Anzahl wird angegeben). Und wenn kein Teil außerhalb der Toleranz liegt, bedeutet dies nicht, dass die Rate null ist: Die Obergrenze wird erneut angegeben.

💡 Wenn die Verteilung von Y deutlich von der Normalverteilung abweicht – was bereits dann der Fall ist, wenn die Formel stark nichtlinear ist (die anhand der Standardabweichung berechneten Indizes Pp und Ppk werden dann irreführend). Wechselt Ellistat gemäß ISO 22514-2 auf die anhand von Perzentilen berechneten Indizes um und gibt dies an. Dadurch wird die klassische Inkonsistenz vermieden, bei der ein Ppk-Wert einige Tausend ppm anzeigt, während eine Zählung keine ppm findet.

Die Varianzbilanz

Der untere Balken entspricht der Toleranzbilanz des Spécigraphe, übertragen auf die Varianzen: ein Segment pro Faktor sowie ein Segment für Wechselwirkungen und eines für das Rauschen. Ein Punkt gibt den Anteil der Gesamtvarianz an, der auf die Abweichungen zwischen den Chargen zurückzuführen ist, unabhängig von den Ursachen.

Darunter werden in den Erläuterungen die Schlussfolgerungen gezogen: der dominierende Faktor und die Herkunft seines Beitrags, die Faktoren ohne messbare Wirkung, bei denen die Toleranzgelänge gelockert werden kann – also das Geld, das man ohne Risiko zurückgewinnen kann –, sowie die Bedeutung der Wechselwirkungen, sobald diese signifikant werden.

Die Beispielbibliothek

Über das Auswahlfeld in der Titelleiste wird ein vollständiger Fall – Faktoren, Formel, Toleranzen, Simulationsplan – geladen und die Berechnung gestartet. Dies ist der schnellste Weg, sich mit der Benutzeroberfläche vertraut zu machen, und bildet die Grundlage für die Erstellung eigener Modelle:

• Druckfeder: Die Steifigkeit hängt vom Drahtdurchmesser, vom Wickeldurchmesser, von der Windungszahl und vom Schubmodul ab. Ein typischer Fall, bei dem ein Faktor die anderen überlagert, da er mit der vierten Potenz berücksichtigt wird;
• Maßkette: Eine Passungsreihe, die sich aus der Differenz dreier Maße ergibt. Der rein additive Fall, d. h. die klassische Toleranzfestlegung;
• Fall einer linearen Regelung: ein Modell, dessen genaue Antwort bekannt ist; nützlich zur Überprüfung der Mechanik;
• Leeres Formular: Damit Sie Ihre eigene Gleichung eingeben können.

💡 Ihre eigenen Vorlagen bleiben erhalten: Die Bibliothek soll zum Katalog der Übertragungsfunktionen Ihres Unternehmens werden: Eine Feder, eine Steckverbindung oder eine Führungseinheit müssen nur einmal definiert werden.

Erfassung des Falls

Die Speicherung eines Falls erfolgt entweder beim Starten einer Simulation oder durch Klicken auf das Speichersymbol neben dem Namen. Das Symbol ist nur aktiv, wenn es ungespeicherte Änderungen gibt.